フーリエ変換の計算例

1x2+1\dfrac{1}{x^2+1} のフーリエ変換

ξ>0\xi>0とし、

∫−∞∞eiξxx2+1dx\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\xi x}}{x^2+1}dx

を計算する。

積分経路として、R>1R>1とし、C=C1+C2C=C_1+C_2、C1C_1は実軸上−R-RからRRまで、C2C_2を原点中心半径RRの上半円周とする。 ∣i∣=1\lvert i\rvert=1なので、z=iz=iが内部に入るにはR>1R>1が要る。 f(z)=eiξzz2+1f(z)=\dfrac{e^{i\xi z}}{z^2+1}はCCの内部のz=iz=iに11位の極をもち、留数は

lim⁡z→ieiξzz2+1(z−i)=lim⁡z→ieiξzz+i=e−ξ2i\lim_{z\to i}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}(z-i)=\lim_{z\to i}\frac{e^{i\xi z}}{z+i}=\frac{e^{-\xi}}{2i}

である。 よって、

∫Ceiξzz2+1dz=πe−ξ\int_C\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz=\pi e^{-\xi}

となる。

∫C1eiξzz2+1dz=∫−RReiξzz2+1dz\int_{C_1}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz=\int^R_{-R}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz

である。 ξ\xiが実数なら∣eiξx∣=1\lvert e^{i\xi x}\rvert=1なので、∣eiξxx2+1∣≤1x2+1\left\lvert\dfrac{e^{i\xi x}}{x^2+1}\right\rvert\leq\dfrac{1}{x^2+1}であり、 ∫−∞∞dxx2+1=π\displaystyle\int^\infty_{-\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\piは収束する。 よって被積分関数は絶対可積分で、広義積分が存在する。 R→∞R\to\inftyとすることで、

∫−∞∞eiξxx2+1dx\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\xi x}}{x^2+1}dx

に収束する。

∣∫C2eiξzz2+1dz∣≤∫0π∣eiξReiθR2e2iθ+1iReiθ∣dθ≤∫0πe−ξRsin⁡θR2−1Rdθ\left\lvert\int_{C_2}\frac{e^{i\xi z}}{z^2+1}dz\right\rvert \leq\int_0^\pi\left\lvert\dfrac{e^{i\xi Re^{i\theta}}}{R^2e^{2i\theta}+1}iRe^{i\theta}\right\rvert d\theta \leq\int_0^\pi\dfrac{e^{-\xi R\sin\theta}}{R^2-1}Rd\theta

で、RRが十分大きいときξ>0\xi>0であることから、

≤∫0πRR2−1dθ=πRR2−1\leq\int_0^\pi\dfrac{R}{R^2-1}d\theta=\dfrac{\pi R}{R^2-1}

で、R→∞R\to\inftyで00に収束する。

以上から

∫−∞∞eiξxx2+1dx=πe−ξ\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\xi x}}{x^2+1}dx=\pi e^{-\xi}

である。

ここで上半円周を選んだ理由を確認しておこう。 z=x+iyz=x+iyとすると

∣eiξz∣=∣eiξx∣ ∣e−ξy∣=e−ξy\lvert e^{i\xi z}\rvert=\lvert e^{i\xi x}\rvert\,\lvert e^{-\xi y}\rvert=e^{-\xi y}

である。 ξ>0\xi>0のとき、これはy>0y>0すなわち上半平面でyyが大きくなるほど小さくなる。 だから上半円周をとれば円弧の寄与が消える。

逆にξ<0\xi<0では上半平面でe−ξye^{-\xi y}が発散してしまい、円弧の評価ができない。 この場合は下半円周をとる。 指数関数がどちらの半平面で減衰するかが、積分路の選択を決めている。

ξ<0\xi<0のときは下半円周を使い、z=−iz=-iの留数を拾う。 結果はπeξ\pi e^{\xi}となり、あわせて

∫−∞∞eiξxx2+1dx=πe−∣ξ∣\int^\infty_{-\infty}\frac{e^{i\xi x}}{x^2+1}dx=\pi e^{-\lvert\xi\rvert}

が得られる。

ξ=0\xi=0とすると右辺はπ\piであり、既知の∫−∞∞dxx2+1=π\displaystyle\int^\infty_{-\infty}\frac{dx}{x^2+1}=\piに戻る。