留数定理

留数を用いて積分を計算できる。

留数定理

CCを区分的C1C^1級の単純閉曲線とし、正の向き（反時計回り）をつける。 CCで囲まれる領域をDDとする。 関数ffはα1,…,αk∈D\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in Dをのぞき、D‾\overline{D}を含むある開集合で正則であるとする。 このとき、

∫Cf(z)dz=2πi∑j=1kRes⁡z=αjf(z)\int_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{j=1}^k \Res_{z=\alpha_j}f(z)

が成り立つ。

証明

積分経路を連続変形することで、CiC_iをαi\alpha_iの周りの十分小さい円周（反時計回り）として、

∫Cf(z)dz=∑i=1k∫Cif(z)dz\int_Cf(z)dz=\sum_{i=1}^k\int_{C_i}f(z)dz

となる。 各特異点を囲む小円をつなぐ補助線の積分が打ち消し合うためである。

各々のCiC_iにおいて、Ri=Res⁡z=αif(z)R_i=\Res_{z=\alpha_i}f(z)とすると

∫Cif(z)dz=∫Ci(f(z)−Riz−αi)dz+∫CiRiz−αidz\int_{C_i}f(z)dz=\int_{C_i}\left(f(z)-\frac{R_i}{z-\alpha_i}\right)dz+\int_{C_i}\frac{R_i}{z-\alpha_i}dz

と分解できる。

留数の定義により、第一項の被積分関数はαi\alpha_iの近くの円環で11価正則関数の導関数である。 原始関数を持つ関数の閉曲線に沿った積分は00だから、第一項は00である。 第二項は2πiRi2\pi iR_iである。

よって

∫Cif(z)dz=2πiRi\int_{C_i}f(z)dz=2\pi iR_i

となり、和をとれば主張が従う。

留数定理の計算例

Br(a)B_r(a)は中心aa、半径rrの円周に反時計回りの向きをつけたものとする。

∫B1(i)dzz2+1=π\int_{B_1(i)}\frac{dz}{z^2+1}=\pi

内部にあるのは11位の極z=iz=iのみで、留数は12i\dfrac{1}{2i}である。 （z=−iz=-iまでの距離は22なので外部にある。）

∫B2(0)z2(z+1)3dz=2πi\int_{B_2(0)}\frac{z^2}{(z+1)^3}dz=2\pi i

内部にあるのは33位の極z=−1z=-1のみで、留数は12!lim⁡z→−1d2dz2z2=1\dfrac{1}{2!}\lim_{z\to-1}\dfrac{d^2}{dz^2}z^2=1である。

∫B2(0)sin⁡zz(z2+1)dz=0\int_{B_2(0)}\frac{\sin z}{z(z^2+1)}dz=0

z=0z=0はsin⁡z\sin zの零点と打ち消し合うので除去可能特異点で留数は00である。 z=±iz=\pm iは11位の極で、分母の導関数が3z2+13z^2+1、z=±iz=\pm iで−2-2であることから、 留数はそれぞれ−sin⁡i2-\dfrac{\sin i}{2}とsin⁡i2\dfrac{\sin i}{2}となり和は00である。

回転数を用いた留数定理

領域DDにおいて、ffは有限個の孤立特異点a1,…,ana_1,\ldots,a_nをのぞいて正則であるとする。 DD内のサイクルCCが00にホモローグで、どのaia_iも通らないとする。 このとき、

12πi∫Cf(z)dz=∑in(C,ai)Res⁡z=aif(z)\frac{1}{2\pi i}\int_Cf(z)dz=\sum_in(C,a_i)\Res_{z=a_i}f(z)

が成り立つ。

実軸上の広義積分への応用
∫−∞∞1x2+1dx\int^\infty_{-\infty}\frac{1}{x^2+1}dx

を計算せよ。 ちなみに、これは積分定理を用いずとも計算可能で、x=tan⁡θx=\tan\thetaと置き換えることにより積分の値はπ\piと求めることができる。

積分経路CRC_Rを半径RRで原点中心の円の上半分と実軸の−R-RからRRを結ぶ線分を合わせてできる半円の境界に反時計回りの向きをつけたものとする。

このとき、

f(z)=1z2+1=12i(1z−i−1z+i)f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{2i}(\frac{1}{z-i}-\frac{1}{z+i})

はz=iz=iで11位の極をもち、そこでの留数は12i\dfrac{1}{2i}である。 また、上半平面ではそれ以外に特異点を持たない。 （z=−iz=-iにも11位の極があるが、これは下半平面にありCRC_Rの内部には入らない。）

したがって、留数定理より

12πi∫CRdzz2+1=12i\frac{1}{2\pi i}\int_{C_R}\frac{dz}{z^2+1}=\frac{1}{2i}

すなわち∫CRdzz2+1=π\displaystyle\int_{C_R}\frac{dz}{z^2+1}=\piである（R>1R>1のとき）。

CRC_Rのうち円弧の部分をARA_Rとすると、その上の積分は次のように評価できる。 ∣z∣=R>1\lvert z\rvert=R>1であれば三角不等式より∣z2+1∣≥R2−1\lvert z^2+1\rvert\geq R^2-1であるから

∣1z2+1∣≤1R2−1\left\lvert\frac{1}{z^2+1}\right\rvert\leq\frac{1}{R^2-1}

である。 ARA_Rをz=Reiθz=Re^{i\theta}（0≤θ≤π0\leq\theta\leq\pi）とパラメータづけると∣dz∣=R dθ\lvert dz\rvert=R\,d\thetaだから

∣∫ARdzz2+1∣≤∫0π1R2−1R dθ=πRR2−1\left\lvert\int_{A_R}\frac{dz}{z^2+1}\right\rvert \leq\int^\pi_{0}\frac{1}{R^2-1}R\,d\theta =\frac{\pi R}{R^2-1}

となる。 R→∞R\to\inftyでこれは00に収束する。

以上から、R→∞R\to\inftyでの極限を考えることで

∫−∞∞1x2+1dx=π\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x^2+1}dx=\pi

となる。

広義積分についての注意

上の議論ではlim⁡R→∞∫−RR\displaystyle\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}という対称な極限を計算している。 これはコーシーの主値と呼ばれるもので、広義積分∫−∞∞\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}そのものとは一般には異なる。 主値が存在しても広義積分が存在するとは限らないからである。

今の例では被積分関数が1x2+1\dfrac{1}{x^2+1}で絶対可積分なので広義積分は存在し、その値が主値と一致する。 このように、広義積分の存在が別途分かっている前提で、主値の計算によってその値を求める、という議論の順序になっていることに注意しよう。