留数とは

次に留数という概念について見ていこう。 まず思い出して欲しいのは、次の積分計算である。 CCを反時計回りの単位円周とすると

∫Cdzz=2πi\int_C\frac{dz}{z}=2\pi i

であった。 コーシーの積分定理により、CCを複素平面から原点を除いた領域内で連続変形しても同じ値になる。 単位円周であるという条件は、具体的に計算するための便宜にすぎない。

一方、n≠−1n\neq-1のときは∫Czndz=0\displaystyle\int_Cz^ndz=0であった。 つまり閉曲線に沿った積分に寄与するのは(z−a)−1(z-a)^{-1}の項だけである。 この係数に名前を付けたものが留数である。

二通りの定義

留数には二通りの定義の仕方があり、どちらも同じものを与える。

留数（原始関数による定義）

孤立特異点z=az=aでのf(z)f(z)の留数とは、ある円環0<∣z−a∣<δ0<\lvert z-a\rvert<\deltaで

f(z)−Rz−af(z)-\frac{R}{z-a}

が11価正則関数の導関数になるような複素数RRのことである。

このようなRRは一意的に定まる。 これをR=Res⁡z=af(z)R=\Res_{z=a}f(z)と表す。

留数（ローラン係数による定義）

ffのz=az=aを中心とするローラン展開

f(z)=∑n=−∞∞an(z−a)nf(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n

における(z−a)−1(z-a)^{-1}の係数a−1a_{-1}をz=az=aにおける留数という。

この二つが一致することを見よう。 ローラン展開において(z−a)−1(z-a)^{-1}以外の項は、(z−a)n+1n+1\dfrac{(z-a)^{n+1}}{n+1}という11価正則な原始関数を持つ。

ここで項ごとの原始関数を足し合わせてよい理由を述べておく。 原始関数を並べた級数

∑n≠−1ann+1(z−a)n+1\sum_{n\neq-1}\frac{a_n}{n+1}(z-a)^{n+1}

は、もとの級数と同じ円環で収束する。 係数に1n+1\dfrac{1}{n+1}が掛かるだけなので収束半径が変わらないためである。 この級数は閉部分円環で一様収束し、項別微分によってもとの級数に戻る。

したがってf(z)−a−1z−af(z)-\dfrac{a_{-1}}{z-a}は11価正則関数の導関数であり、一つ目の定義のRRはa−1a_{-1}に等しい。

ローラン展開の係数の積分表示

an=12πi∫∣ζ−a∣=rf(ζ)(ζ−a)n+1dζa_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert\zeta-a\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta

においてn=−1n=-1とすると

Res⁡z=af(z)=12πi∫∣ζ−a∣=rf(ζ)dζ\Res_{z=a}f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert\zeta-a\rvert=r}f(\zeta)d\zeta

となる。 つまり留数とは、特異点を囲む小さな円周に沿った積分を2πi2\pi iで割ったものである。

11位の極の基本例

f(z)=cz−af(z)=\dfrac{c}{z-a}について、Res⁡z=af(z)=c\Res_{z=a}f(z)=cである。 ローラン展開がこの一項だけだからである。

留数の求め方

極の場合には、微分を用いて留数を計算できる。

nn位の極における留数

z=az=aがffのnn位の極であるとき

Res⁡z=af(z)=1(n−1)!lim⁡z→adn−1dzn−1[(z−a)nf(z)]\Res_{z=a}f(z)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\Bigl[(z-a)^nf(z)\Bigr]

である。

特にn=1n=1のとき

Res⁡z=af(z)=lim⁡z→a(z−a)f(z)\Res_{z=a}f(z)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)

である。

証明

z=az=aがnn位の極だから、ローラン展開は

f(z)=a−n(z−a)n+⋯+a−1z−a+a0+a1(z−a)+⋯f(z)=\frac{a_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots+\frac{a_{-1}}{z-a}+a_0+a_1(z-a)+\cdots

の形をしている。 両辺に(z−a)n(z-a)^nを掛けると

(z−a)nf(z)=a−n+a−n+1(z−a)+⋯+a−1(z−a)n−1+a0(z−a)n+⋯(z-a)^nf(z)=a_{-n}+a_{-n+1}(z-a)+\cdots+a_{-1}(z-a)^{n-1}+a_0(z-a)^n+\cdots

となり、右辺はz=az=aの近くで正則な関数の冪級数展開である。 (n−1)(n-1)回微分してz→az\to aとすると、(z−a)n−1(z-a)^{n-1}の項だけが残り(n−1)! a−1(n-1)!\,a_{-1}になる。

11位の極については、f(z)=g(z)h(z)f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}でg(a)≠0g(a)\neq0、h(a)=0h(a)=0、h′(a)≠0h'(a)\neq0のとき

Res⁡z=af(z)=lim⁡z→a(z−a)g(z)h(z)=g(a)h′(a)\Res_{z=a}f(z)=\lim_{z\to a}\frac{(z-a)g(z)}{h(z)}=\frac{g(a)}{h'(a)}

という形が便利なことが多い。

計算例

留数の計算例

f(z)=z−2z2(z−1)3f(z)=\dfrac{z-2}{z^2(z-1)^3}の極をすべて求め、その留数を求めよう。

分母の零点から、z=0z=0は22位の極、z=1z=1は33位の極である。 z=0z=0では分子が−2≠0-2\neq0、z=1z=1では分子が−1≠0-1\neq0なので、位数は下がらない。

z=0z=0での留数は

Res⁡z=0f(z)=11!lim⁡z→0ddz[z−2(z−1)3]=lim⁡z→0−2z+5(z−1)4=5\Res_{z=0}f(z)=\frac{1}{1!}\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\left[\frac{z-2}{(z-1)^3}\right] =\lim_{z\to0}\frac{-2z+5}{(z-1)^4}=5

である。 ここで

ddzz−2(z−1)3=(z−1)−3(z−2)(z−1)4=−2z+5(z−1)4\frac{d}{dz}\frac{z-2}{(z-1)^3}=\frac{(z-1)-3(z-2)}{(z-1)^4}=\frac{-2z+5}{(z-1)^4}

を用いた。

z=1z=1での留数は

Res⁡z=1f(z)=12!lim⁡z→1d2dz2[z−2z2]\Res_{z=1}f(z)=\frac{1}{2!}\lim_{z\to1}\frac{d^2}{dz^2}\left[\frac{z-2}{z^2}\right]

である。 z−2z2=z−1−2z−2\dfrac{z-2}{z^2}=z^{-1}-2z^{-2}を22回微分すると2z−3−12z−42z^{-3}-12z^{-4}となり、z=1z=1では−10-10である。 よってRes⁡z=1f(z)=−5\Res_{z=1}f(z)=-5である。

22つの留数の和が00になることに注意しよう。 f(z)f(z)は∣z∣→∞\lvert z\rvert\to\inftyでz−4z^{-4}程度の速さで減衰するので、大きな円周に沿った積分は00に収束する。 留数定理を認めればこの和が00でなければならないことが分かり、検算になっている。