ローラン級数展開

$z=a$ を $f(z)$ の孤立特異点とする。このとき、 $f$ は $z=a$ の周りでローラン展開

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n

を持つ。すなわち、ある $R>0$ について $0<\lvert z-a\rvert<R$ で右辺が収束し $f(z)$ の値と一致する。

まず両側無限和の意味を決めておく。

両側無限和の収束

\sum_{n=-\infty}^\infty c_n =\sum_{n=0}^\infty c_n+\sum_{n=1}^\infty c_{-n}

と定める。つまり正冪の部分と負冪の部分がそれぞれ収束するときに、全体が収束するという。

対称な部分和 $\displaystyle\sum_{n=-N}^{N}c_n$ の $N\to\infty$ での極限として定義するのではないことに注意する。そちらでは両方が発散していても打ち消し合って極限を持つことがあり、項別の操作が正当化できない。例えば $c_0=0$ 、 $n\geq1$ に対し $c_n=1$ 、 $c_{-n}=-1$ とすると、正冪の部分と負冪の部分はそれぞれ発散するが、対称な部分和は常に $0$ である。

収束の様子も述べておく。 $0<r_1<r_2<R$ とすると、閉円環 $r_1\leq\lvert z-a\rvert\leq r_2$ の上で上の二つの級数はいずれも一様収束する。正冪の部分は $\lvert z-a\rvert\leq r_2$ で、負冪の部分は $\lvert z-a\rvert\geq r_1$ で抑えられるからである。この一様収束により、後で項別積分ができる。

正則関数の冪級数展開と同様に、ローラン級数展開の係数 $a_n$ は積分表示

a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta-a\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta

を持つ。右辺は $0<r<R$ の取り方によらない。 $\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}$ が円環で正則なので、積分路の半径を変えても値が変わらないためである。

この積分表示から係数の一意性も従う。展開が二通りあれば、どちらの係数も同じ積分で表されるので一致する。

特に負冪部分

\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-a)^n

を主要部という。

留数

ローラン級数展開の $(z-a)^{-1}$ の係数 $a_{-1}$ を $f$ の $z=a$ における留数といい、 $\Res_{z=a}f(z)$ と表す。

証明

$f$ が $z=a$ を孤立特異点に持つとする。 $a$ を中心とする同心円 $C_1, C_2$ を $f$ が正則な円内にとり、半径の小さい方を $C_1$ とする。 $C_1, C_2$ に挟まれた部分にある点 $z$ をとる。円の向きはいずれも反時計回りとする。

$z$ を中心とする小さな円に反時計回りに向きをつけたものを $C$ とすると、コーシーの積分定理より

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta

である。

被積分関数 $\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}$ は $C_1, C_2$ に挟まれた領域から $z$ を除いた部分で正則である。積分路を連続変形して $\int_C=\int_{C_2}-\int_{C_1}$ であるから、

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta

となる。

\dfrac{1}{\zeta-z}=\dfrac{1}{\zeta-a-z+a}=\dfrac{1}{(\zeta-a)-(z-a)}

となる。ここで、 $\zeta\in C_2$ であれば $\lvert z-a\rvert<\lvert \zeta-a\rvert$ であるから、

\dfrac{1}{(\zeta-a)-(z-a)}=\dfrac{1}{\zeta-a}\dfrac{1}{1-(z-a)/(\zeta-a)}\\\\ =\dfrac{1}{\zeta-a}\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{z-a}{\zeta-a}\right)^n

が収束する。一方で、 $\zeta\in C_1$ であれば $\lvert z-a\rvert>\lvert \zeta-a\rvert$ であるから、

\dfrac{1}{(\zeta-a)-(z-a)}=-\dfrac{1}{z-a}\dfrac{1}{1-(\zeta-a)/(z-a)}\\\\ =-\dfrac{1}{z-a}\sum_{n=0}^\infty\left(\dfrac{\zeta-a}{z-a}\right)^n

が収束する。

以上から、

f(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta-\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\\\\ =\frac{1}{2\pi i}\int_{C_1}\frac{1}{\zeta-a}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{\zeta-a}{z-a}\right)^nf(\zeta)d\zeta+ \frac{1}{2\pi i}\int_{C_2}\frac{1}{\zeta-a}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{z-a}{\zeta-a}\right)^nf(\zeta)d\zeta

であり、さらに無限和と積分の順序を交換して、

=\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=1}^\infty\left(\int_{C_1}(\zeta-a)^{n-1}f(\zeta)d\zeta\right)(z-a)^{-n} +\frac{1}{2\pi i}\sum_{n=0}^\infty\left(\int_{C_2}(\zeta-a)^{-(n+1)}f(\zeta)d\zeta\right)(z-a)^{n}

となる。 $C_1, C_2$ の半径を動かすことで係数は変わらず、 $a$ の近くの任意の $z$ に対して

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta-a\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta\right)(z-a)^n

となる。

ローラン級数展開の計算例

以下の例では「除去可能特異点」「 $k$ 位の極」「真性特異点」という名称を使う。特異点の種類は次の記事孤立特異点の分類で、極の位数は有理型関数で定義するので、いまは主要部の形を見分ける手がかりとして読めばよい。主要部が現れなければ除去可能、 $z^{-k}$ までで止まれば $k$ 位の極、無限に続けば真性特異点である。

ローラン級数展開の例

以下は $z=0$ を中心とする展開を考える。

$f(z)=\dfrac{3z^3+2z^2+z-1}{z^2}=-z^{-2}+z^{-1}+2+3z$ であり、 $z=0$ は $2$ 位の極で留数 $1$ である。

$f(z)=e^{1/z}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}z^{-n}$ であり、 $z=0$ は真性特異点である。

$f(z)=\dfrac{e^z}{z^4}=z^{-4}+z^{-3}+\dfrac{1}{2}z^{-2}+\dfrac{1}{6}z^{-1}+\cdots$ であり、 $z=0$ は $4$ 位の極で留数は $\dfrac{1}{6}$ である。

$f(z)=\dfrac{1}{z^4+z^2}=z^{-2}\dfrac{1}{z^2+1}=z^{-2}(1-z^2+z^4+\cdots)$ であり、 $z=0$ は $2$ 位の極で留数は $0$ である。

$f(z)=\dfrac{e^z-1}{z}=1+\dfrac{1}{2}z+\cdots$ であり、 $z=0$ は除去可能特異点である。

一般の円環での展開

上の定理は孤立特異点の近傍、すなわち内側の半径が $0$ の円環 $0<\lvert z-a\rvert<R$ について述べた。しかし証明を見直すと、 $a$ を中心とする $2$ つの同心円 $C_1, C_2$ の間で $f$ が正則であることしか使っていない。内側の半径が $0$ である必要はないのである。

円環におけるローラン展開

$f$ が円環 $r<\lvert z-a\rvert<R$ （ $0\leq r<R\leq\infty$ ）で正則ならば、その円環で

f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-a)^n,\qquad a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta-a\rvert=\rho}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}d\zeta

が成り立つ。ここで $\rho$ は $r<\rho<R$ なる任意の数である。

$r=0$ としたものが先の定理であり、孤立特異点の場合はその特別な場合にあたる。

注意したいのは、中心が同じでも円環が変われば係数が変わりうることである。 $f$ が $a$ の外側に別の特異点を持てば、その特異点を境に円環は複数に分かれ、それぞれで別の展開を持つ。係数の積分表示に現れる $\rho$ をどの円環から取るかで、値が変わるのである。したがってローラン展開を述べるときは、中心だけでなくどの円環で考えているかを必ず指定する。

留数 $a_{-1}$ は、特異点 $a$ を囲む十分小さい円周で定める量である。つまり $a$ に最も近い側の円環、 $r=0$ の場合の展開の係数を指している。次の演習で、同じ関数・同じ中心でも円環によって $z^{-1}$ の係数が変わることを確かめよう。

演習

円環によって展開が変わる

$f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}$ を次の各円環で $z=0$ を中心に展開し、 $z^{-1}$ の係数を比べよ。

$0<\lvert z\rvert<1$
$\lvert z\rvert>1$

解答

1. $\lvert z\rvert<1$ では $\dfrac{1}{z-1}=-\dfrac{1}{1-z}=-(1+z+z^2+\cdots)$ であるから

f(z)=\frac{1}{z}\cdot\left(-(1+z+z^2+\cdots)\right)=-\frac{1}{z}-1-z-z^2-\cdots

である。 $z^{-1}$ の係数は $-1$ である。

2. $\lvert z\rvert>1$ では $\left\lvert\dfrac{1}{z}\right\rvert<1$ なので

\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\cdots\right)

であるから

f(z)=\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}+\frac{1}{z^4}+\cdots

となる。 $z^{-1}$ の係数は $0$ である。

同じ関数を同じ点のまわりで展開しても、どの円環で考えるかによって係数が変わることが見て取れる。この関数は $z=1$ にも特異点を持つので、 $\lvert z\rvert=1$ を境に円環が $2$ つに分かれるのである。

留数は最も内側の円環、すなわち $1$ の側の係数なので $-1$ である。

主要部の最低次数と留数は別物

$f(z)=\dfrac{1}{z^2}$ の $z=0$ を中心とするローラン展開を求め、主要部の最低次数と留数を比べよ。（後の記事有理型関数では、最低次数の符号を変えた数を極の位数と呼ぶ。）

解答

ローラン展開は $f(z)=z^{-2}$ の一項だけである。主要部の最低次数は $-2$ であり、後の言葉でいえば $z=0$ は $2$ 位の極である。

一方 $z^{-1}$ の係数は $0$ なので、留数は $0$ である。

極の位数と留数は別の量である。位数は主要部がどこから始まるかを表し、留数は $z^{-1}$ の係数だけを見る。実際 $\displaystyle\int_C\frac{dz}{z^2}=0$ であり、特異点があっても積分に寄与しない。