有理型関数

極の位数

極の位数

z=az=aがffの極であるとき、z=az=aの周りでのローラン級数展開の主要部の最低次数を−m-m（a−m≠0a_{-m}\neq 0）とする。 このmmを極の位数といい、z=az=aはmm位の極であるという。

極と正則関数の比

z=az=aがffのmm位の極であることは、z=az=aの近くでg(a)≠0g(a)\neq 0なる正則関数ggを用いて

f(z)=g(z)(z−a)mf(z)=\dfrac{g(z)}{(z-a)^m}

と表せることと同値である。

すなわち、極とは局所的に正則関数の比として表される特異点である。 逆に正則関数の比で表される関数は、分母の零点で極または除去可能特異点を持つ。

有理型関数

有理型関数

領域Ω\Omegaの各点において、正則であるか、または極を持つ関数をΩ\Omega上の有理型関数という。 言い換えると、Ω\Omega内の離散集合SSを除いて正則であり、SSの各点が極であるような関数である。

正則関数も有理型関数である。 極を一つも持たない場合が含まれているからである。

また、除去可能特異点は値を補えば正則な点になるので、補ったうえで正則な点として扱う。 有理型関数において各点は、正則な点か極のどちらかである。

正則関数の比と有理型関数

P,QP, Qを領域Ω\Omega上の正則関数とし、Q≢0Q\not\equiv0とする。 このときf(z)=P(z)Q(z)f(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}はΩ\Omega上の有理型関数である。

P≡0P\equiv0ならばffはQQの零点を除いて00であり、零関数としてΩ\Omega全体に延長できる。 以下P≢0P\not\equiv0とする。 QQの零点α\alphaにおいて、PPの零点の位数をpp、QQの零点の位数をqqとする （P(α)≠0P(\alpha)\neq0のときはp=0p=0とする）。 このときq>pq>pならばα\alphaはffのq−pq-p位の極であり、q≤pq\leq pならばα\alphaは除去可能特異点で、 値を定め直せばα\alphaでも正則になる。

分母の零点が必ず極になるわけではないことに注意しよう。 分子と分母の零点が相殺されると極は現れない。 次の例がまさにその場合である。

有理型関数の例

f(z)=z2−3z+2z2(z2−1)f(z)=\dfrac{z^2-3z+2}{z^2(z^2-1)}について、分母が00になる各点で特異点の種類を判定しよう。 分母の零点はz=0,±1z=0, \pm 1であるが、z2−3z+2=(z−1)(z−2)z^2-3z+2=(z-1)(z-2)であるからz=1z=1では分子も00になる。 約分するとf(z)=z−2z2(z+1)f(z)=\dfrac{z-2}{z^2(z+1)}となり、z=0z=0は22位の極、z=−1z=-1は11位の極、z=1z=1は除去可能特異点である。

ローラン級数展開の計算例

f(z)=1z2(z−1)2f(z)=\dfrac{1}{z^2(z-1)^2}はz=0,1z=0, 1にそれぞれ22位の極を持つ。 それぞれの点を中心とするローラン展開を求めよう。

z=0z=0を中心とする展開を、円環0<∣z∣<10<\lvert z\rvert<1で考える。 ∣z∣<1\lvert z\rvert<1では1(z−1)2=1(1−z)2=∑n=0∞(n+1)zn\dfrac{1}{(z-1)^2}=\dfrac{1}{(1-z)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(n+1)z^nであるから

f(z)=z−2∑n=0∞(n+1)zn=z−2+2z−1+3+4z+⋯f(z)=z^{-2}\sum_{n=0}^\infty(n+1)z^n =z^{-2}+2z^{-1}+3+4z+\cdots

となる。 主要部はz−2+2z−1z^{-2}+2z^{-1}であり、留数は22である。

z=1z=1を中心とする展開は、円環0<∣z−1∣<10<\lvert z-1\rvert<1で考える。 w=z−1w=z-1とおくと∣w∣<1\lvert w\rvert<1であり、 1z2=1(1+w)2=∑n=0∞(−1)n(n+1)wn\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{1}{(1+w)^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)w^nであるから

f(z)=w−2∑n=0∞(−1)n(n+1)wn=(z−1)−2−2(z−1)−1+3−4(z−1)+⋯f(z)=w^{-2}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(n+1)w^n =(z-1)^{-2}-2(z-1)^{-1}+3-4(z-1)+\cdots

となる。 主要部は(z−1)−2−2(z−1)−1(z-1)^{-2}-2(z-1)^{-1}であり、留数は−2-2である。

二つの留数の和が00になることに注意しよう。 ffは∣z∣→∞\lvert z\rvert\to\inftyでz−4z^{-4}程度の速さで減衰するので、大きな円周に沿った積分は00に収束する。