多項式関数と有理関数

複素数係数の $z$ の多項式 $f(z)=z^n+\cdots+a_n$ は、 $a\in\mathbb{C}$ に対して $f(z)$ を対応させることで、関数 $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ を定める。

多項式関数の比で定まる関数を有理関数という。

一次分数変換

$f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ を一次分数変換という。これは $\mathbb{C}\setminus\left\{\dfrac{-d}{c}\right\}$ で正則な関数である。

$\mathbb{C}$ に無限遠点 $\{\infty\}$ を付け加えてリーマン球面を考える。すると、一次分数変換はリーマン球面からリーマン球面への「正則関数」となる。この関数により、リーマン球面の「円」は「円」にうつる。

リーマン球面における「円」は通常の複素平面における円または直線である。