多項式関数と有理関数

多項式関数

$a_0, a_1, \ldots, a_n\in\C$ に対し、

f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n

を $z$ の多項式関数という。 $a_n\neq 0$ のとき $n$ を $f$ の次数という。

多項式関数は $\C$ 全体で定義された連続関数 $f:\C\to\C$ である。

二つの多項式関数 $P(z), Q(z)$ （ $Q\not\equiv0$ ）に対し、

f(z)=\dfrac{P(z)}{Q(z)}

を有理関数という。 $f$ は $Q(z)\neq 0$ となる $z$ で定義される。

有理関数は定義域上で連続である。最も簡単な有理関数の例は一次分数変換 $f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ であり、これは第1章の複素平面上の図形と一次分数変換で扱った。

z^2

による直線の像

$w=z^2$ によって、直線 $y=c$ （ $c\neq0$ ）はどのような曲線にうつるか。

解答

$z=x+ic$ とすると

w=z^2=(x^2-c^2)+2icx

である。 $w=u+iv$ とおくと $u=x^2-c^2$ 、 $v=2cx$ であるから、 $x=\dfrac{v}{2c}$ を代入して

u=\frac{v^2}{4c^2}-c^2

となる。

これは $u$ 軸方向に開いた放物線である。 $c$ を動かすと放物線の族が得られる。同様に直線 $x=c$ も放物線にうつり、二つの族は直交する。これは $z^2$ が $z\neq0$ で等角であることの現れである。