正則関数の例と初等関数の正則性

$f(z)=z^2$の一次近似

$f(z)=z^2$は$z=\alpha$の周りで一次式$2\alpha(z-\alpha)+\alpha^2$で近似できる。 これを図示して確かめよう。 $f(z)=z^2$で実軸平行な直線や虚軸平行な直線がどのように映るかを書いてみる。

$z^n$の正則性

$n$を$0$以上の整数として$f(z)=z^n$は正則関数である。

正則関数の四則演算

正則関数どうしの和や積は正則関数である。 正則関数の比は分母が$0$でない範囲で正則。

多項式の正則性

$z$についての多項式は正則関数である。

有理式の正則性

$z$についての有理式は、分母が$0$になる点を除いて正則関数である。

$f(z)=\bar{z}$の非正則性

$f(z)=\bar{z}$は正則ではない。

まず直感的な説明をする。 $f(z)=az+b$と近似できるのであれば、実軸と虚軸の角は保たれる。 ところが、$f(z)$でうつすと実軸と虚軸の向きが逆になる。 よって、一次式で近似することはできない。

また、これは等角ではないため正則ではないということもできる。 複素係数の一次式で近似できるなら、近似的には等角である。 回転拡大と平行移動は等角なため。

また、$f(z)=x-iy$を二変数関数と見たとき、$A=\begin{pmatrix}1&0\\\\0&-1\end{pmatrix}$が$f(z)$を近似する（この場合には近似ではなくて一致するが）行列となる。

定義に直接基づいた証明も行おう。 $h$が実数で近づいた場合と、純虚数で近づいた場合に極限値が異なることを確かめる。 $z=x+iy$として

となるので、微分可能でない。

演習問題

$f(z)=\lvert z \rvert$は正則ではないことを示せ。