対数関数と冪乗関数

対数関数

複素数に対する対数関数を定義しよう。実数の範囲では、指数関数の逆関数として定義できた。これは、異なる実数 $x, y$ に対しては $e^x$ と $e^y$ が異なるためである。

一方で複素数の範囲では、指数関数が複数の複素数で同じ値をとる。なので、逆関数が直ちには定義できない。

しかし、多価関数としては以下のように定義することができる。

指数関数は、 $z=x+yi$ に対して

\exp(z)=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y +i e^x\sin y

と定義された。

$w=\exp(z)$ を $z$ について解くことで $z=\log w$ を定める。 $z=x+yi$ とし、 $w=u+vi$ として、 $x, y$ について解けばよい。

u+iv = e^x\cos y +i e^x\sin y

であるので、

u=e^x\cos y, v = e^x\sin y

である。

u^2+v^2=e^{2x}(\cos^2y+\sin^2y)=e^{2x}

であるので、

x=\log\sqrt{u^2+v^2}

である。ただし、ここの $\log$ は実関数としての対数関数である。

また、

\frac{v}{u}=\frac{\sin y}{\cos y}=\tan y

である。 $\dfrac{v}{u}$ は複素平面で言えば原点と $w$ を結ぶ線分の傾きであり、 $w$ の偏角を $\theta$ とすればこの傾きは $\tan\theta$ であったから、

y=\arg(w)

である。

ただし $\tan y=\dfrac{v}{u}$ だけでは $y$ は $\pi$ の不定性までしか決まらない。 $u=e^x\cos y$ 、 $v=e^x\sin y$ と $e^x>0$ から $\cos y$ と $\sin y$ の符号が分かるので、それで象限を決める。 $u=0$ のときは $\tan y$ が使えないので、 $v$ の符号から $y=\pm\dfrac{\pi}{2}$ と直接定める。ただし、これは一意に決まらないことに注意する。

つまり、

\log(w)=\log\lvert w\rvert+i\arg w

であることが $w=\exp(z)$ であることと同値である。

負の実軸を除いた領域で $-\pi<\arg z<\pi$ と定めた分枝を主値といい、 $\operatorname{Log} z$ と大文字で書く。以後、分枝を特定したい場面ではこの記号を使う。

極形式 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ を用いると

\log(z)=\log r+i\theta

である。

ただし、偏角 $\theta$ は一意には定まらないことに注意しよう。複素数においては対数関数は多価関数となる。このことはこの先に学ぶ線積分を通しても理解できる。

冪乗関数

複素数の複素数乗を定義しよう。対数関数を用いて次のように定義する。

一般の $\alpha$ に対し、

z^\alpha=\exp(\alpha\log z)

と定義する。

対数関数が多価関数であったことから、 $f(z)=z^\alpha$ も一般には多価関数となることに注意せよ。ただし、 $\exp$ が周期関数であることにより、 $\alpha$ の値によっては $\alpha\log z$ の多価性が消える場合がある。 $\alpha$ が整数であれば一価正則に定まる。有理数であれば有限通りの不定性がある。

例えば $f(z)=\sqrt{z}=z^{1/2}$ は、上の対数関数と同様に $\C$ 上で一価正則な関数として定義することはできない。

指数が複素数の冪乗は注意して計算する必要がある。次の計算がどこがおかしいか考えよ。

-1 = (\sqrt{-1})^2 = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1

実数 $x>0$ に対する $\sqrt{x}$ は、二つある実平方根のうち正の方をとることで定まる。 $x=0$ の平方根は $0$ ただ一つである。こうして $x\geq0$ に対して一斉に $\sqrt{x}$ を定めることができ、これが連続関数となっていた。

複素数に対しては、二つある平方根のうち、例えば偏角が $0$ 以上 $\pi$ 未満の方をとることにすると、一斉に $\sqrt{z}$ を定めることができるが、これは連続関数とはならない。単位円周に沿って一周連続的に $\sqrt{z}$ の値を変化させるとどうなるかを考えよう。

なお複素対数 $\log z$ および一般の複素冪 $z^\alpha$ は、まず $z\neq0$ に対して定義されることに注意する。原点を含む開近傍へ一価正則に延長できるのは、 $\alpha$ が非負整数の場合だけである。 $\alpha=0$ なら $z^\alpha\equiv1$ であり、これも原点を込めて正則であることに注意しよう。

「延長できる」を単に連続に延長できるという意味にとると、主張は変わる。切断を入れた領域上の $\sqrt z$ は、原点での値を $0$ と定めれば連続に延長できるからである。一価正則な延長を要求していることが効いている。

対数の全ての値

$\log 1$ と $\log(-1)$ の値をすべて求めよ。

解答

$\log w=\log\lvert w\rvert+i\arg w$ であり、 $\arg$ には $2\pi$ の整数倍の不定性がある。

$w=1$ のとき $\lvert w\rvert=1$ 、 $\arg w=2\pi n$ （ $n$ は整数）であるから

\log 1=2\pi ni

である。 $n=0$ が主値 $0$ にあたる。

$w=-1$ のとき $\lvert w\rvert=1$ 、 $\arg w=\pi+2\pi n$ であるから

\log(-1)=(2n+1)\pi i

である。

ただし $\operatorname{Log}(-1)$ は定義されないことに注意しよう。主分枝は負の実軸を除いた領域で定めたので、 $-1$ はその定義域に入っていない。切断の上側から近づいた境界値は $\pi i$ 、下側からは $-\pi i$ であり、一つに定まらない。これが負の実軸を除いた理由である。

実数の範囲では $\log(-1)$ は定義されなかったが、複素数の範囲では値を持つ。ただし一つには定まらない。

平方根の一周による符号変化

$z=1$ で $\sqrt{1}=1$ と選び、単位円周に沿って反時計回りに一周しながら $\sqrt{z}$ の値を連続的に追跡する。出発点に戻ったときの値を求めよ。

解答

単位円周上で $z=e^{i\theta}$ とし、 $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで連続的に動かす。

\sqrt{z}=e^{i\theta/2}

と連続に追跡できる。

$\theta=0$ では $1$ 、 $\theta=2\pi$ では $e^{i\pi}=-1$ である。つまり一周して同じ点 $z=1$ に戻っても、 $\sqrt{z}$ の値は $-1$ になり元に戻らない。

これが $\sqrt{z}$ を $\C\setminus\{0\}$ 上で一価連続に定められない理由である。 $\log z$ が一周で $2\pi i$ ずれることに対応しており、 $\sqrt{z}=\exp\left(\frac{1}{2}\log z\right)$ の指数が $\pi i$ だけずれるためである。