対数関数と冪乗関数

対数関数

複素数に対する対数関数を定義しよう。 実数の範囲では、指数関数の逆関数として定義できた。 これは、異なる実数x,yx, yに対してはexe^xとeye^yが異なるためである。

一方で複素数の範囲では、指数関数が複数の複素数で同じ値をとる。 なので、逆関数が直ちには定義できない。

しかし、多価関数としては以下のように定義することができる。

指数関数は、z=x+yiz=x+yiに対して

exp⁡(z)=ex(cos⁡y+isin⁡y)=excos⁡y+iexsin⁡y \exp(z)=e^x(\cos y+i\sin y)=e^x\cos y +i e^x\sin y

と定義された。

w=exp⁡(z)w=\exp(z)をzzについて解くことでz=log⁡wz=\log wを定める。 z=x+yiz=x+yiとし、w=u+viw=u+viとして、x,yx, yについて解けばよい。

u+iv=excos⁡y+iexsin⁡y u+iv = e^x\cos y +i e^x\sin y

であるので、

u=excos⁡y,v=exsin⁡y u=e^x\cos y, v = e^x\sin y

である。

u2+v2=e2x(cos⁡2y+sin⁡2y)=e2x u^2+v^2=e^{2x}(\cos^2y+\sin^2y)=e^{2x}

であるので、

x=log⁡u2+v2 x=\log\sqrt{u^2+v^2}

である。ただし、ここのlog⁡\logは実関数としての対数関数である。

また、

vu=sin⁡ycos⁡y=tan⁡y \frac{v}{u}=\frac{\sin y}{\cos y}=\tan y

なので、

arctan⁡vu=y \arctan\frac{v}{u}=y

である。 vu\dfrac{v}{u}は複素平面で言えば原点とzzを結ぶ線分の傾きであり、偏角θ\thetaとすればこの傾きはtan⁡θ\tan\thetaであったから、

y=arg⁡(z) y=\arg(z)

である。 ただし、これは一意に決まらないことに注意する。

つまり、

log⁡(w)=log⁡∣w∣+iarg⁡w\log(w)=\log\lvert w\rvert+i\arg w

であることがw=exp⁡(z)w=\exp(z)であることと同値である。

極形式z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)を用いると

log⁡(z)=log⁡r+iθ \log(z)=\log r+i\theta

である。

ただし、偏角θ\thetaは一意には定まらないことに注意しよう。 複素数においては対数関数は多価関数となる。 このことはこの先に学ぶ線積分を通しても理解できる。

冪乗関数

複素数の複素数乗を定義しよう。 対数関数を用いて次のように定義する。

一般のα\alphaに対し、

zα=exp⁡(αlog⁡z) z^\alpha=\exp(\alpha\log z)

と定義する。

対数関数が多価関数であったことから、f(z)=zαf(z)=z^\alphaも一般には多価関数となることに注意せよ。 ただし、exp⁡\expが周期関数であることにより、α\alphaの値によってはαlog⁡z\alpha\log zの多価性が消える場合がある。 α\alphaが整数であれば一価正則に定まる。 有理数であれば有限通りの不定性がある。

べき関数の定義を与えよう。 例えばf(z)=z=z1/2f(z)=\sqrt{z}=z^{1/2}でも上の対数関数と同様にC\mathbb{C}上で一価正則な関数として定義することはできない。

指数が複素数の冪乗は注意して計算する必要がある。 次の計算がどこがおかしいか考えよ。

−1=(−1)2=−1×−1=(−1)2=1=1 -1 = (\sqrt{-1})^2 = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1

実数xxに対するx\sqrt{x}は二つある平方根のうち正の方をとる、ということで全ての実数に対して一斉にx\sqrt{x}を定めることができ、 これが連続関数となっていた。

複素数に対しては、二つある平方根のうち、例えば偏角が00以上π\pi未満の方をとることにすると、一斉にz\sqrt{z}を定めることができるが、 これは連続関数とはならない。 単位円周に沿って一周連続的にz\sqrt{z}の値を変化させるとどうなるかを考えよう。