微分係数と一次近似

微分係数

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$の場合。 $f$が$a$で微分可能であるとは、極限

が存在することをいう。

これは、

を満たす実数$f'(a)$が存在することと同値。

また、$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$と同値である。

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$の場合。 $f$が$(a,b)$で微分可能であるとは、

を満たす横ベクトル$f'(a)$が存在することと同値。

$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$の場合。 $f$が$(a,b)$で微分可能であるとは、

を満たす行列$A$が存在することと同値。

また、$f((a,b)+(h,k))=f(a,b)+A(h,k)+O(h,k)$と同値である。 この行列$A$をヤコビ行列という。 （上の場合の微分係数もヤコビ行列ということもできる）

一次近似

実数関数において、微分係数は一次式による近似の比例定数を表していた。 つまり、上の微分係数の定義式は

と同値である。 これは、

という$h$についての一次式の近似を表していると解釈できる。 ここで、$f(a)+f'(a)h$は$h$についての実数係数の$1$次式である。

これと同様に考えると、$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$の微分可能性は複素係数の$1$次式$f(a)+f'(a)h$による近似可能性ということができる。

また$2$変数関数$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$の微分可能性とも比較しよう。 こちらは成分が実数の$2$次正方行列$A$により

となることであった。 こちらは複素関数の微分係数の定義と同様に、全ての近づき方を考える。

一方で複素数$a+bi$倍を$1,i$を基底として行列で表すと$\begin{pmatrix}a&-b\\\\b&a\end{pmatrix}$の形になる。 つまり、近似する行列の形に制約があるのが複素関数の微分の定義であると考えることができる。 このように、単に$z=x+iy$と表示した上での$2$変数関数としての微分可能性に比べて、 複素関数としての微分可能性の方が真に強い条件であることがわかる。