微分係数と一次近似

複素関数の微分を定義する前に、実関数の微分係数を一次近似の観点から捉え直しておく。 複素関数の微分可能性は、この一次近似の係数を複素数に取り替えたものとして理解できる。

実関数の微分係数

f:R→Rf:\R\to\Rがaaで微分可能であるとは、極限

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)

が存在することをいう。

これは分母を払って書き直すと、

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)−f′(a)hh=0\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}=0

を満たす実数f′(a)f'(a)が存在すること、すなわち

f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o(h)f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)

と表せることと同値である。

ここでo(h)o(h)は、h→0h\to0のときhhで割っても00に収束する量を表す記法である。 つまりg(h)=o(h)g(h)=o(h)とはlim⁡h→0g(h)h=0\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{g(h)}{h}=0を意味する。 「hhよりも速く00に近づく誤差」と読めばよい。

ここでf(a)+f′(a)hf(a)+f'(a)hはhhについての実数係数の11次式である。 つまり微分係数とは、aaの近くでffを近似する一次式の係数のことであり、微分可能性とは一次式で近似できることに他ならない。 以下ではこの見方を多変数と複素数の場合に移していく。

多変数関数の場合

変数が増えると、一次式の係数はベクトルや行列になる。 またh→0h\to0の近づき方が一通りでなくなるため、分母をhhではなく∣(h,k)∣\lvert(h,k)\rvertとして、近づき方によらず00に収束することを要求する。

全微分可能性

f:R2→Rf:\R^2\to\Rが(a,b)(a,b)で（全）微分可能であるとは、実数の組(p,q)(p,q)が存在して

lim⁡(h,k)→(0,0)f(a+h,b+k)−f(a,b)−(ph+qk)∣(h,k)∣=0\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-(ph+qk)}{\lvert(h,k)\rvert}=0

が成り立つことをいう。

f:R2→R2f:\R^2\to\R^2の場合も同様で、実22次正方行列AAが存在して

lim⁡(h,k)→(0,0)∣f(a+h,b+k)−f(a,b)−At(h,k)∣∣(h,k)∣=0\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{\left\lvert f(a+h,b+k)-f(a,b)-A{}^t(h,k)\right\rvert}{\lvert(h,k)\rvert}=0

が成り立つことをいう。

ここで∣(h,k)∣=h2+k2\lvert(h,k)\rvert=\sqrt{h^2+k^2}である。 後者は

f((a,b)+(h,k))=f(a,b)+At(h,k)+o(∣(h,k)∣)f\bigl((a,b)+(h,k)\bigr)=f(a,b)+A{}^t(h,k)+o(\lvert(h,k)\rvert)

と書いても同じで、やはり一次式による近似を表している。 この行列AAをヤコビ行列という。

複素関数の場合

f:C→Cf:\C\to\Cの微分可能性も、まったく同じ形で

lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h=f′(a)\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)

と定義する。 ただしhhは複素数であり、h→0h\to0は複素平面上のあらゆる方向からの近づき方を許す。 これは

f(a+h)=f(a)+f′(a)h+o(h)f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)

という近似が成り立つことであり、f(a)+f′(a)hf(a)+f'(a)hはhhについての複素数係数の11次式である。

実二変数関数としての微分可能性と比べてみよう。 C\CをR2\R^2と同一視すると、複素数a+bia+biを掛ける操作は、基底1,i1, iに関して行列

(a−bba)\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}

で表される。 つまり複素関数として微分可能であることは、実二変数関数として微分可能で、さらにそのヤコビ行列がこの形をしていることに相当する。

第1章では積の表示、第2章では写像の表示として現れた同じ行列が、ここでは微分に課される制約として働く。

どちらの定義もあらゆる近づき方を考える点では同じだが、複素関数の場合は近似する行列の形に制約が課される。 このように、z=x+iyz=x+iyと表示した上での二変数関数としての微分可能性に比べて、複素関数としての微分可能性は真に強い条件である。 この制約を実部と虚部の偏導関数の言葉で書き下したものが、後に扱うコーシーリーマンの方程式である。