複素関数の図示・連続性

複素関数の図示

実関数$y=f(x)$はグラフで図示できた。 定義域と値域がどちらも$1$次元なので、平面上に$(x,y)$を取れば関数全体が見渡せる。

複素関数はそうはいかない。 定義域も値域も$2$次元なので、グラフを描くには$4$次元が要る。

そこで、$2$つの複素平面を並べて、点や曲線や領域がどこにうつるかを見るという方法をとる。 $z$平面の図形が$w=f(z)$平面のどんな図形にうつるかを追いかけるわけである。

点がどこにうつるかだけでなく、曲線や領域の形がどう変わるかを見るのが要点である。

$z=te^{i\alpha}$（$t\geq0$）とおくと$z^2=t^2e^{2i\alpha}$だから、原点から出る偏角$\alpha$の半直線は偏角$2\alpha$の半直線にうつる。 直線ではなく半直線になることに注意しよう。 例えば実軸全体の像は非負実軸であり、負の実数は像に現れない。

上の例では原点で$\dfrac{\pi}{4}$の角をなす$2$本の半直線が、うつった先では$\dfrac{\pi}{2}$の角をなしている。 角が保たれていないが、これは$z^2$の導関数が原点で$0$になるためで、第3章の等角性で改めて扱う。

ベクトル値実関数との対比

複素数全体の集合$\C$は、集合として$\R^2$と同一視できる。

一次関数$f(z)=\alpha z+\beta$を$\R^2$のベクトル値関数として表してみよう。 $\alpha=a+bi, \beta=c+di, z=x+yi$とおくと、

である。対応するベクトル値関数は

となる。これは行列を用いると

と表せる。 第1章では同じ行列を積の表示として得たが、ここでは平面から平面への写像を表す行列として見ている。

さらに$\alpha\neq0$すなわち$a^2+b^2\neq0$のとき、

と分解でき、右側の行列は行列式が$1$の直交行列である。 すなわち、$\alpha$倍は回転と拡大の合成であることが行列の言葉でも確認できる。

複素関数の連続性

$\C$の位相は$\R^2$の位相と一致し、距離を絶対値で測る。 したがって、複素関数の連続性は二変数関数の連続性と同じである。 $z=x+iy, w=u+vi$としたとき、$\lvert z-w\rvert$と$(x,y), (u,v)$のユークリッド距離は等しい。