複素関数の図示・連続性

複素関数の図示

二つの複素平面を書いて考える。

ベクトル値実関数との対比

$\mathbb{R}^2$ と $\mathbb{C}$ を同一視する

集合として、また連続性についてはどちらでも同じ。

一次関数 $f(z)=\alpha z+\beta$ は、 $\alpha=a+bi, \beta=c+di$ とおくと、

\alpha z+\beta=(a+bi)(x+yi)+(c+di)=(ax-by+c)+(ay+bx+d)i

である。

対応するベクトル値関数は

\begin{pmatrix} ax-by+c\\\\ ay+bx+d \end{pmatrix}

これは行列を用いると

\begin{pmatrix} a&-b\\\\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\\\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c\\\\ d \end{pmatrix}

である。

さらに、

\begin{pmatrix} a&-b\\\\ b&a \end{pmatrix} =\sqrt{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a/\sqrt{a^2+b^2}&-b/\sqrt{a^2+b^2}\\\\ b/\sqrt{a^2+b^2}&a/\sqrt{a^2+b^2} \end{pmatrix}

であり、

\begin{pmatrix} a/\sqrt{a^2+b^2}&-b/\sqrt{a^2+b^2}\\\\ b/\sqrt{a^2+b^2}&a/\sqrt{a^2+b^2} \end{pmatrix}

は行列式が $1$ の直交行列である。

複素関数の連続性

複素関数の連続性は、単に二変数関数 $f(x,y)$ の連続性と同じ。 $\mathbb{C}$ の位相は $\mathbb{R}^2$ の位相と同じで、距離を絶対値で測る。 $z=x+iy, w=u+vi$ としたとき、 $z, w$ の距離と $(x,y), (u,v)$ の距離は同じ。連続であることは

\lim_{z\to a}f(z)=f(a)

で定義する。 $\epsilon\delta$ でかくと、任意の $\epsilon>0$ に対し、ある $\delta>0$ が存在して、 $\lvert z-a\rvert<\delta$ ならば $\lvert f(z)-f(a)\rvert<\epsilon$ である。