線積分の定義

複素関数の線積分を定義しよう。 考え方は「曲線に沿った微分形式の引き戻し」である。 f(z)dzf(z)dzというC\C上の複素係数の微分形式を、曲線のパラメータづけによって実数の閉区間に引き戻し、通常の一変数の定積分に帰着させる。

微分形式の引き戻し

曲線のパラメータづけをγ:t↦z(t)\gamma:t\mapsto z(t)とする。 dzdzの引き戻しは

γ∗(dz)=d(γ(t))=γ′(t)dt\gamma^\ast(dz)=d(\gamma(t))=\gamma'(t)dt

であり、これをz′(t)dtz'(t)dtとも書く。 z(t)=x(t)+iy(t)z(t)=x(t)+iy(t)と成分で書けばz′(t)=x′(t)+iy′(t)z'(t)=x'(t)+iy'(t)であり、

dz=z′(t)dt=x′(t)dt+iy′(t)dtdz=z'(t)dt=x'(t)dt+iy'(t)dt

となる。 dz=dx+idydz=dx+idyと覚えておくとよい。

複素線積分

CCをUU内の向きのついた区分的C1C^1級曲線とし、γ:[a,b]→U\gamma:[a,b]\to Uをそのパラメータづけとする。 UU上の連続関数ffに対し、ffのCCに沿った線積分を

∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt\int_C f(z)dz=\int^b_af(\gamma(t))\gamma'(t)dt

と定義する。

右辺は複素数値関数の実数区間上の積分であり、実部と虚部に分ければそれぞれ通常の定積分である。 したがって定義そのものに新しさはなく、R2\R^2におけるベクトル場の線積分と本質的な違いはない。

定義においてffが正則である必要はないことに注意しよう。 連続でありさえすれば線積分は定まる。 正則性が効いてくるのは、次のセクションで扱うコーシーの積分定理からである。

また、この定義は一見パラメータづけγ\gammaの取り方に依存しているように見えるが、実際には依存しない。 このことは積分の変数変換の公式から従い、次の記事で確かめる。

リーマン和による定義

実関数の定積分と同様に、リーマン和の極限として定義することもできる。

パラメータ区間[a,b][a,b]をa=t0<t1<⋯<tn=ba=t_0<t_1<\cdots<t_n=bと分割し、zk=γ(tk)z_k=\gamma(t_k)とおく。 各小弧の上に点ζk\zeta_kを選んで和

∑k=1nf(ζk)(zk−zk−1)\sum_{k=1}^{n}f(\zeta_k)(z_k-z_{k-1})

を作る。 分割を細かくしていく（max⁡k(tk−tk−1)→0\max_k(t_k-t_{k-1})\to0とする）とき、この和は分割とζk\zeta_kの取り方によらず一定の値に収束し、その極限が∫Cf(z)dz\displaystyle\int_Cf(z)dzに一致する。

ここで「細かくする」を弦の長さmax⁡k∣zk−zk−1∣\max_k\lvert z_k-z_{k-1}\rvertで測ってはいけないことに注意しよう。 例えば単位円周をγ(t)=eit\gamma(t)=e^{it}（t∈[0,2π]t\in[0,2\pi]）とパラメータづけし、t=0,1n,2πt=0, \dfrac{1}{n}, 2\piと分割する。 n→∞n\to\inftyのとき二つの弦の長さはどちらも00に近づくが、二つ目の小弧はほぼ円周一周を占めたままである。 f(z)=1zf(z)=\dfrac{1}{z}に対してこの和の絶対値は弦の長さの和以下なので00に収束してしまい、実際の積分値2πi2\pi iとは一致しない。

弧長の最大値を00にする、と言い換えてもよい。 いずれにせよ、曲線は像となる点の集合だけでなく、向きと何周するかまで込めたものとして扱う必要がある。

計算にはパラメータづけを用いた最初の定義の方が便利なので、以下では主にそちらを使う。

実部と虚部への分解

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とすると

f(z)dz=(u dx−v dy)+i(v dx+u dy)f(z)dz=(u\,dx-v\,dy)+i(v\,dx+u\,dy)

である。 つまり複素線積分は、22つの実ベクトル場(u,−v)(u,-v)と(v,u)(v,u)の線積分を実部・虚部として組み合わせたものである。

ここで平面ベクトル場(P,Q)(P,Q)に対するグリーンの定理

∮∂D(P dx+Q dy)=∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy\oint_{\partial D}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy

を思い出そう。 これを実部と虚部に適用すると、被積分関数はそれぞれ

−∂v∂x−∂u∂y,∂u∂x−∂v∂y-\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}

となる。 ffが正則ならばコーシーリーマンの方程式によりこれらはともに00である。

したがって、ffが領域DDとその境界を含む範囲で正則（かつu,vu, vがC1C^1級）ならば

∮∂Df(z)dz=0\oint_{\partial D}f(z)dz=0

が成り立つ。 これが次のセクションで扱うコーシーの積分定理である。 ここではグリーンの定理とu,vu, vのC1C^1性を仮定して導いたが、後にこの仮定を外した形で証明することになる。