調和関数

正則関数 $f=u+iv$ の実部と虚部は、コーシーリーマンの方程式を通してラプラス方程式を満たす。このことを確かめよう。

正則関数の実部と虚部は調和関数

調和関数

領域上の $C^2$ 級関数 $u(x,y)$ が

\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0

を満たすとき、 $u$ を調和関数という。ここで右辺の $0$ は、領域上で恒等的に $0$ という意味である。

正則関数の実部・虚部の調和性

$f=u+iv$ が正則ならば、 $u$ と $v$ はともに調和関数である。

証明

$u, v$ が $C^2$ 級であることを仮定する。（実際にはあとでコーシーの積分公式から、正則関数は何回でも微分可能であり、この仮定は自動的に満たされることが分かる。）

コーシーリーマンの方程式

\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}

の第一式を $x$ で、第二式を $y$ で偏微分すると

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y},\quad \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=-\frac{\partial^2 v}{\partial y\partial x}

となる。 $v$ は $C^2$ 級だから偏微分の順序が交換でき、二つの右辺は符号を除いて等しい。したがって辺々を加えて

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0

を得る。 $v$ についても同様である。

この $u, v$ は無関係な二つの調和関数ではなく、コーシーリーマンの方程式で結ばれた組である。このような組を共役調和関数という。

調和でない関数は正則関数の実部になれない

$u(x,y)=x^2+y^2$ は、どんな正則関数の実部にも虚部にもなりえない。実際 $\Delta u=2+2=4\neq0$ であり、 $u$ は調和関数でないからである。

共役調和関数の構成

逆に、調和関数 $u$ が与えられたとき、局所的にはそれを実部にもつ正則関数を構成することができる。コーシーリーマンの方程式を $v$ についての連立偏微分方程式と見て解けばよい。

ただし領域全体で一価な $v$ が取れるとは限らない。 $u(z)=\log\lvert z\rvert$ は $\C\setminus\{0\}$ で調和だが、この領域全体で一価な共役調和関数は存在しない。共役調和関数の候補は $\arg z$ であり、これは原点の周りを一周すると $2\pi$ ずれてしまうからである。対数関数が多価であったことと同じ現象である。

共役調和関数の構成例

$u(x,y)=x^2-y^2$ とする。 $\Delta u=2-2=0$ だからこれは調和関数である。

共役調和関数 $v(x,y)$ は、コーシーリーマンの方程式より

\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=2y,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x

の解である。

一つ目の式を $x$ で積分して $v(x,y)=2xy+g(y)$ となる。これを二つ目の式に代入すると $2x+g'(y)=2x$ より $g'(y)=0$ 、すなわち $g(y)=c$ （定数）である。よって $v(x,y)=2xy+c$ とすればよく、

f(x+yi)=(x^2-y^2)+i(2xy+c)=z^2+ic

は正則関数である。

一般に単連結な領域上では、調和関数に対して共役調和関数が定数の差を除いて一意に存在する。したがってその領域上では、正則関数を探すことと調和関数すなわちラプラス方程式 $\Delta u=0$ の解を探すことが対応する。

この対応は複素解析が物理に応用される理由の一つでもある。二次元の静電場や定常的な流れ、熱伝導などはラプラス方程式で記述されるため、正則関数を使って解析できるからである。

\log\lvert z\rvert

の共役調和関数

$u(z)=\log\lvert z\rvert$ について、次を調べよ。

$\C\setminus(-\infty,0]$ の上で $u$ を実部にもつ正則関数を求めよ。
$\C\setminus\{0\}$ 全体では同じことができない理由を述べよ。

解答

1. $z=re^{i\theta}$ と書くと $u=\log r$ である。 $-\pi<\theta<\pi$ と分枝を選べば

f(z)=\log\lvert z\rvert+i\arg z=\operatorname{Log}z

が正則関数で、その実部が $u$ である。共役調和関数は $v=\arg z$ である。

2. $\C\setminus\{0\}$ では $\arg z$ が一価に定まらない。原点の周りを一周すると $2\pi$ だけずれてしまうからである。

$u=\log\lvert z\rvert$ 自体は $\C\setminus\{0\}$ 全体で調和である（ $\Delta u=0$ は直接計算で確かめられる）。しかしこの領域全体で $u$ を実部にもつ正則関数は存在しない。

存在しないことは、第4・5章で学ぶ線積分と原始関数を使うと次のように確かめられる。もし存在すれば $\dfrac{1}{z}$ が原始関数を持つことになり、閉曲線に沿った積分が $0$ でなければならないが、単位円周に沿った積分は実際は $2\pi i$ である。この部分は先取りなので、いまの段階では「大域的には構成できないことがある」という結論だけ受け取ればよい。

局所的には常に構成でき、単連結な領域なら大域的にも構成できる。 $\C\setminus\{0\}$ は単連結でないので、この例が反例になる。