線積分

ここでは複素関数の線積分について解説する。 複素平面の部分集合$U\subset \C$上定義された複素関数$f:U\to \C$と$U$内の滑らかな曲線$C$に対し、 線積分

を定義することができる。

まず曲線のパラメータづけによる引き戻しとして線積分を定義し、リーマン和による定義とも一致することを述べる。 次にパラメータづけの取り替え、曲線の向きと分割、絶対値の評価、一様収束する列の項別積分といった基本的な性質をまとめる。 最後に折れ線と円周に沿った具体的な計算例を見る。

計算例では二つのことに注目してほしい。 積分路とその内部で正則な関数では閉曲線に沿った積分が$0$になること、そして円周上の$(z-a)^n$の積分が$n=-1$のときだけ$0$にならないことである。 前者は次のセクションのコーシーの積分定理へ、後者は留数の理論へとつながっていく。

なお「正則ならば閉曲線積分は$0$」「積分が$0$ならば正則」はどちらも一般には成り立たない。 内部まで正則であることと、一つの積分路だけでは判定できないことに注意しよう。