線積分の計算例

簡単な線積分の計算例を見ていこう。 線分をつないだ折れ線と円周という、以後もよく使う22種類の積分路で計算する。

これらの例で観察してほしいのは、積分路とその内部で正則な関数では、閉曲線に沿った積分が00になるという点である。

ここで「内部でも正則」という条件が効いている。 1z\dfrac{1}{z}はC∖{0}\C\setminus\{0\}で正則だが、原点を囲む単位円周に沿った積分は2πi2\pi iであって00にならない。 逆に、一つの閉曲線に沿った積分が00になったからといって正則とは限らない。 例えばzˉ2\bar{z}^2は正則でないが、単位円周に沿った積分は00である。

また円周上の(z−a)n(z-a)^nの積分は、n=−1n=-1のときだけ00にならない。 この二つの現象が、次のセクション以降のコーシーの積分定理と留数の理論につながっていく。

折れ線に沿った積分

点OOをz=0z=0、点AAをz=1z=1、点BBをz=1+iz=1+iで定める。 線分OA,AB,BOOA, AB, BOのパラメータづけを

γ1(t)=t,γ2(t)=1+ti,γ3(t)=(1+i)(1−t)\gamma_1(t)=t,\quad \gamma_2(t)=1+ti,\quad \gamma_3(t)=(1+i)(1-t)

（いずれもt∈[0,1]t\in[0,1]）で与える。 それぞれγ1′(t)=1\gamma_1'(t)=1、γ2′(t)=i\gamma_2'(t)=i、γ3′(t)=−(1+i)\gamma_3'(t)=-(1+i)である。

f(z)=zf(z)=zの場合
∫OAf(z)dz=∫01t dt=12\int_{OA}f(z)dz =\int_{0}^{1}t\,dt =\frac{1}{2}∫ABf(z)dz=∫01(1+ti)i dt=i−12\int_{AB}f(z)dz =\int_{0}^{1}(1+ti)i\,dt =i-\frac{1}{2}∫BOf(z)dz=∫01(1+i)(1−t)(−(1+i))dt=−12(1+i)2=−i\int_{BO}f(z)dz =\int_{0}^{1}(1+i)(1-t)\bigl(-(1+i)\bigr)dt =-\frac{1}{2}(1+i)^2 =-i

三つの積分の和が00となることに注目しよう。

g(z)=z2g(z)=z^2の場合
∫OAg(z)dz=∫01t2dt=13\int_{OA}g(z)dz =\int_{0}^{1}t^2dt =\frac{1}{3}∫ABg(z)dz=∫01(1+ti)2i dt=−1+23i\int_{AB}g(z)dz =\int_{0}^{1}(1+ti)^2i\,dt =-1+\frac{2}{3}i∫BOg(z)dz=∫01(1+i)2(1−t)2(−(1+i))dt=−13(1+i)3=−13(2i−2)\int_{BO}g(z)dz =\int_{0}^{1}(1+i)^2(1-t)^2\bigl(-(1+i)\bigr)dt =-\frac{1}{3}(1+i)^3 =-\frac{1}{3}(2i-2)

こちらも三つの和は00である。

h(z)=zˉh(z)=\bar{z}の場合
∫OAh(z)dz=∫01t dt=12\int_{OA}h(z)dz =\int_{0}^{1}t\,dt =\frac{1}{2}∫ABh(z)dz=∫01(1−ti)i dt=i+12\int_{AB}h(z)dz =\int_{0}^{1}(1-ti)i\,dt =i+\frac{1}{2}∫BOh(z)dz=∫01(1−i)(1−t)(−(1+i))dt=−(1−i)(1+i)∫01(1−t)dt=−1\int_{BO}h(z)dz =\int_{0}^{1}(1-i)(1-t)\bigl(-(1+i)\bigr)dt =-(1-i)(1+i)\int_0^1(1-t)dt =-1

今度は三つの和が

12+(i+12)+(−1)=i\frac{1}{2}+\left(i+\frac{1}{2}\right)+(-1)=i

となり、00にならない。

f(z)=zf(z)=zとg(z)=z2g(z)=z^2は正則、h(z)=zˉh(z)=\bar{z}は正則でなかったことを思い出そう。 閉じた折れ線OABOOABOに沿った積分が00になるかどうかが、正則性と対応している。

なお三角形OABOABの面積は12\dfrac{1}{2}であり、一般に有界領域DDと、その境界に正の向き（DDを左手に見る向き）をつけた閉曲線CCに対して

∮Czˉ dz=2i⋅(Dの面積)\oint_C\bar{z}\,dz=2i\cdot(\text{$D$の面積})

が成り立つことが、グリーンの定理から確かめられる。 向きを逆にすれば符号が変わり、同じ閉曲線をkk周すればkk倍になる。 上のiiはこの公式と合っている。

円周に沿った積分

定数関数の積分

CCを単位円周に反時計回りの向きをつけたものとし、γ(t)=exp⁡(2πit)\gamma(t)=\exp(2\pi it)（t∈[0,1]t\in[0,1]）をそのパラメータづけとする。 γ′(t)=2πiexp⁡(2πit)\gamma'(t)=2\pi i\exp(2\pi it)であるから

∫Cdz=∫012πiexp⁡(2πit)dt=[exp⁡(2πit)]01=0\int_C dz =\int_{0}^{1}2\pi i\exp(2\pi it)dt =\bigl[\exp(2\pi it)\bigr]^{1}_{0} =0

である。

より一般に、任意の閉曲線CCに対して∫Cdz=0\displaystyle\int_Cdz=0である。 11の原始関数zzが存在するからである。

znz^nの積分

CCを上と同じ単位円周とし、nnを整数とする。

n≠−1n\neq-1のとき

∫Czndz=∫01exp⁡(2nπit)⋅2πiexp⁡(2πit)dt=[1n+1exp⁡(2(n+1)πit)]01=0\int_Cz^ndz =\int_{0}^{1}\exp(2n\pi it)\cdot2\pi i\exp(2\pi it)dt =\left[\frac{1}{n+1}\exp\bigl(2(n+1)\pi it\bigr)\right]^{1}_{0} =0

である。

n=−1n=-1のときは指数が消えて

∫C1zdz=∫01exp⁡(−2πit)⋅2πiexp⁡(2πit)dt=∫012πi dt=2πi\int_C\frac{1}{z}dz =\int_{0}^{1}\exp(-2\pi it)\cdot2\pi i\exp(2\pi it)dt =\int_{0}^{1}2\pi i\,dt =2\pi i

となる。

n=−1n=-1だけが特別なのは、原始関数が取れるかどうかの違いである。 n≠−1n\neq-1のときはzn+1n+1\dfrac{z^{n+1}}{n+1}という原始関数が（n<−1n<-1ならz≠0z\neq0で）一価に定まるが、 n=−1n=-1のときの原始関数log⁡z\log zは多価であり、原点の周りを一周すると2πi2\pi iだけ値が増える。 上で得られた2πi2\pi iはまさにこの増分である。

z=1wz=\dfrac{1}{w}と変数変換してみるとこの特殊性が別の形で見える。 dz=−dww2dz=-\dfrac{dw}{w^2}であるから

dzz=−dww,dzz2=−dw\frac{dz}{z}=-\frac{dw}{w},\qquad \frac{dz}{z^2}=-dw

となり、dzz\dfrac{dz}{z}だけが変換後も同じ形を保つ。

zˉ\bar{z}の円周に沿った積分

CCを上と同じ単位円周とする。 CC上では∣z∣=1\lvert z\rvert=1すなわちzˉ=1z\bar{z}=\dfrac{1}{z}であるから、

∫Czˉ dz=∫01exp⁡(−2πit)⋅2πiexp⁡(2πit)dt=2πi\int_C\bar{z}\,dz =\int_{0}^{1}\exp(-2\pi it)\cdot2\pi i\exp(2\pi it)dt =2\pi i

となる。 この例では閉曲線に沿った積分が00にならない。 zˉ\bar{z}は正則でないので、コーシーの積分定理が使える状況ではないためである。 ただし正則でないことから00にならないと結論できるわけではない。 実際zˉ2\bar{z}^2は正則でないが、CC上ではzˉ2=1z2\bar{z}^2=\dfrac{1}{z^2}なので積分は00である。

(z−a)n(z-a)^nの積分

CCを中心aa、半径rrの円周に反時計回りの向きをつけたものとし、 γ(t)=a+rexp⁡(2πit)\gamma(t)=a+r\exp(2\pi it)（t∈[0,1]t\in[0,1]）をそのパラメータづけとする。 γ′(t)=2πirexp⁡(2πit)\gamma'(t)=2\pi ir\exp(2\pi it)であるから

∫C(z−a)ndz=∫01rnexp⁡(2nπit)⋅2πirexp⁡(2πit)dt=2πirn+1∫01exp⁡(2(n+1)πit)dt\int_C(z-a)^ndz =\int_0^1r^n\exp(2n\pi it)\cdot2\pi ir\exp(2\pi it)dt =2\pi ir^{n+1}\int_0^1\exp\bigl(2(n+1)\pi it\bigr)dt

となる。 最後の積分はn≠−1n\neq-1のとき00、n=−1n=-1のとき11であるから

∫C(z−a)ndz={2πi(n=−1)0(n≠−1)\int_C(z-a)^ndz = \begin{cases} 2\pi i& (n=-1)\\ 0& (n\neq-1) \end{cases}

である。 特に半径rrにも中心aaにもよらないことに注意しよう。

この最後の計算は留数定理の出発点になる。 関数をローラン級数に展開したとき、円周に沿った積分に寄与するのは(z−a)−1(z-a)^{-1}の項だけであり、その係数が留数と呼ばれることになる。

演習

経路によるかどうかを比べる

00から1+i1+iへの次の22つの経路について、∫Cz dz\displaystyle\int_Cz\,dzと∫Czˉ dz\displaystyle\int_C\bar{z}\,dzを計算し比較せよ。

  • C1C_1：00から1+i1+iへの線分
  • C2C_2：0→1→1+i0\to1\to1+iの折れ線
解答

∫z dz\int z\,dz。 C1C_1はγ(t)=(1+i)t\gamma(t)=(1+i)t、γ′=(1+i)\gamma'=(1+i)だから

∫C1z dz=∫01(1+i)t(1+i)dt=(1+i)22=i\int_{C_1}z\,dz=\int_0^1(1+i)t(1+i)dt=\frac{(1+i)^2}{2}=i

である。

C2C_2は、0→10\to1で∫01t dt=12\int_0^1t\,dt=\dfrac{1}{2}、1→1+i1\to1+iで∫01(1+it)i dt=i−12\int_0^1(1+it)i\,dt=i-\dfrac{1}{2}だから、和はiiである。

22つは一致する。zzは原始関数z22\dfrac{z^2}{2}を持つので、端点だけで決まるからである。

∫zˉ dz\int\bar{z}\,dz。 C1C_1ではγˉ=(1−i)t\bar{\gamma}=(1-i)tだから

∫C1zˉ dz=∫01(1−i)t(1+i)dt=2⋅12=1\int_{C_1}\bar{z}\,dz=\int_0^1(1-i)t(1+i)dt=2\cdot\frac{1}{2}=1

である。

C2C_2では、0→10\to1で∫01t dt=12\int_0^1t\,dt=\dfrac{1}{2}、1→1+i1\to1+iで∫01(1−it)i dt=i+12\int_0^1(1-it)i\,dt=i+\dfrac{1}{2}だから、和は1+i1+iである。

11と1+i1+iで一致しない。zˉ\bar{z}は正則でなく原始関数を持たないためである。

周回数と向き

CCを単位円周とする。次を計算せよ。

  1. 反時計回りに11周したときの∫Cdzz\displaystyle\int_C\frac{dz}{z}
  2. 反時計回りに22周したとき
  3. 時計回りに11周したとき
解答

11周のときは本文で計算したとおり2πi2\pi iである。

22周はパラメータをγ(t)=exp⁡(2πit)\gamma(t)=\exp(2\pi it)、t∈[0,2]t\in[0,2]ととればよく、同じ計算で∫022πi dt=4πi\displaystyle\int_0^22\pi i\,dt=4\pi iとなる。

時計回りは向きを逆にしたものなので、符号が変わって−2πi-2\pi iである。

同じ点集合をたどっていても積分値は違う。 曲線は像の集合だけでなく、向きと何周するかまで込めたものとして扱う必要がある。

dzdz と ∣dz∣\lvert dz\rvert の違い

閉曲線CCに対し∫Cdz\displaystyle\int_Cdzと∫C∣dz∣\displaystyle\int_C\lvert dz\rvertはそれぞれ何を表すか。

解答

∫Cdz=∫abγ′(t)dt=γ(b)−γ(a)\displaystyle\int_Cdz=\int_a^b\gamma'(t)dt=\gamma(b)-\gamma(a)であり、閉曲線では始点と終点が一致するので00である。

一方∫C∣dz∣=∫ab∣γ′(t)∣dt\displaystyle\int_C\lvert dz\rvert=\int_a^b\lvert\gamma'(t)\rvert dtは曲線の長さであり、非定数の曲線なら正である。 閉曲線だからといって00になるわけではない。

dzdzは向きを持つ量、∣dz∣\lvert dz\rvertは向きを持たない量である。 前者は往復すると打ち消し合うが、後者は足し合わされる。