原始関数の存在と閉曲線での線積分

コーシーの積分定理の証明の鍵は原始関数の存在である。 ffが原始関数を持てば、線積分は経路によらず端点だけで決まり、閉曲線に沿った積分は00になる。 これは領域の形にも曲線の形にもよらずに成り立つ。

なお、この節ではffの正則性は仮定しない。 ffが連続であることと、原始関数FFが存在することだけが必要である。 連続性は、線積分がそもそも連続関数に対して定義されていることと、下の証明で微積分学の基本定理を使うために要る。

原始関数と経路によらない積分

原始関数

領域D⊂CD\subset\C上の連続関数f:D→Cf:D\to\Cに対し、DD上の一価正則関数F:D→CF:D\to\Cで

F′(z)=f(z)(z∈D)F'(z)=f(z)\quad(z\in D)

を満たすものをffの原始関数という。

原始関数を持つ関数の線積分

ffをDD上の連続関数とし、DD上に原始関数FFを持つとする。 このときDD内の区分的C1C^1級曲線CCに対し

∫Cf(z)dz=F(β)−F(α)\int_Cf(z)dz=F(\beta)-F(\alpha)

が成り立つ。 ここでα,β\alpha, \betaはそれぞれCCの始点と終点である。

特に積分の値は端点のみで決まり、途中の経路によらない。

証明

曲線CCのパラメータづけをγ:[a,b]→D\gamma:[a,b]\to Dとすると、合成関数の微分から

ddtF(γ(t))=F′(γ(t))γ′(t)=f(γ(t))γ′(t)\frac{d}{dt}F(\gamma(t))=F'(\gamma(t))\gamma'(t)=f(\gamma(t))\gamma'(t)

である。 よって微積分学の基本定理から

∫Cf(z)dz=∫abf(γ(t))γ′(t)dt=∫abddtF(γ(t))dt=F(γ(b))−F(γ(a))\int_Cf(z)dz=\int^b_af(\gamma(t))\gamma'(t)dt=\int_a^b\frac{d}{dt}F(\gamma(t))dt=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))

となる。

閉曲線に沿った積分が消えること

ffがDD上に原始関数を持つとき、DD内の任意の閉曲線CCに対し

∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0

が成り立つ。

閉曲線では始点と終点が一致するので、上の定理から直ちに従う。

逆に、DD内の任意の閉曲線に沿った積分が00ならば、積分は経路によらない。 実際、α\alphaからβ\betaへの22つの曲線C1,C2C_1, C_2に対し、C1C_1と−C2-C_2をつないだものは閉曲線であり

0=∫C1f(z)dz+∫−C2f(z)dz=∫C1f(z)dz−∫C2f(z)dz0=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{-C_2}f(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz-\int_{C_2}f(z)dz

となるからである。 つまり「経路によらない」ことと「閉曲線での積分が00」であることは同値である。

さらに逆向きの構成もできる。 DDを領域とし、ffをDD上の連続関数とする。 DD内の任意の閉曲線に沿った積分が00ならば、z0∈Dz_0\in Dを固定して

F(z)=∫z0zf(ζ)dζF(z)=\int_{z_0}^{z}f(\zeta)d\zeta

（積分はDD内の任意の経路に沿ってとる）と定めることでffの原始関数が得られる。 積分が経路によらないのでFFは一価に定まり、ffの連続性からF′=fF'=fが従う。 この構成は次の記事以降、円板や星形領域に対して実際に使う。

まとめると、DD上の連続関数ffについて次の三つは同値である。

これは実ベクトル場に対するポテンシャルの存在と同じ構図である。 保存力場では仕事が経路によらず、閉じた経路に沿った仕事が00になるのと対応している。

原始関数を持たない例

原始関数の存在は領域の形に依存する。

f(z)=1zf(z)=\dfrac{1}{z}をD=C∖{0}D=\C\setminus\{0\}上で考えよう。 線積分の計算例で見たように、単位円周CCに沿って

∫C1zdz=2πi≠0\int_C\frac{1}{z}dz=2\pi i\neq0

である。 したがってffはDD上に一価正則な原始関数を持たない。

形式的な原始関数の候補はlog⁡z\log zだが、これはDD上で一価にならない。 一方、負の実軸を除いた領域のように原点の周りを回れない領域に制限すれば、log⁡z\log zの分枝が一価正則に定まり、原始関数となる。

このように、同じ関数でも定義域の形によって原始関数を持ったり持たなかったりする。 次の記事以降では、長方形・円板・星形領域と領域の形を限定することで原始関数の存在を示し、コーシーの積分定理を段階的に証明していく。

曲線の連続変形と線積分

コーシーの積分定理のもう一つの言い換えとして、積分路の連続変形がある。

単純閉曲線と連続変形

始点と終点が一致し、それ以外に自己交差を持たない閉曲線を単純閉曲線という。

領域DD内の22つの閉曲線C1,C2C_1, C_2がDD内で連続変形できるとは、DD内に留まったままC1C_1を連続的に動かしてC2C_2に重ねられることをいう。

ffがDDで正則であり、C1C_1とC2C_2がDD内で連続変形できるならば

∫C1f(z)dz=∫C2f(z)dz\int_{C_1}f(z)dz=\int_{C_2}f(z)dz

が成り立つ。

直感的には、変形の途中で通過する領域を細かく分割し、各小片で原始関数の存在を使えばよい。 この見方は、円周の半径を変えても積分値が変わらないことを示す場面などで繰り返し使うことになる。