円板上正則な関数の原始関数の存在

長方形に対するコーシーの積分定理を用いて、領域が円板であるときに原始関数が存在することを証明する。 原始関数が存在すれば、原始関数の存在と閉曲線での線積分で見たように閉曲線に沿った積分は00になる。

円板に対するコーシーの積分定理

DDを円板とし、f:D→Cf:D\to\Cを正則関数とする。 このときffはDD上に一価正則な原始関数FFを持つ。

特にDD内の任意の閉曲線CCに対して

∫Cf(z)dz=0\int_Cf(z)dz=0

が成り立つ。

原始関数の構成

DDの中心をaaとする。 z∈Dz\in Dに対し、aaからzzへ至る次の22通りのL字型の経路を考える。

DDが円板であることから、どちらの経路もDDに含まれる。 実際a=0a=0、D={∣z∣<R}D=\{\lvert z\rvert<R\}としてよく、z=x+iyz=x+iyに対し経路上の点は∣s∣≤∣x∣\lvert s\rvert\leq\lvert x\rvert、∣t∣≤∣y∣\lvert t\rvert\leq\lvert y\rvertなるs+its+itの形をしていて、

s2+t2≤x2+y2<R2s^2+t^2\leq x^2+y^2<R^2

となるからである。 同じ理由で、22つの経路が囲む長方形（44頂点がaa、Re⁡z+iIm⁡a\Re z+i\Im a、zz、Re⁡a+iIm⁡z\Re a+i\Im z）もDDに含まれる。

a z Γ Γ′
中心aaからzzへの22通りのL字経路。Γz\Gamma_zは先に実軸方向、Γz′\Gamma'_zは先に虚軸方向に動く。22つが囲む長方形（破線）も円板に含まれるので、長方形に対する積分定理から22経路の積分値が等しい。

この長方形の周はΓz\Gamma_zと−Γz′-\Gamma'_zをつないだものだから、長方形に対するコーシーの積分定理により

∫Γzf(ζ)dζ−∫Γz′f(ζ)dζ=∫∂f(ζ)dζ=0\int_{\Gamma_z}f(\zeta)d\zeta-\int_{\Gamma'_z}f(\zeta)d\zeta=\int_{\partial}f(\zeta)d\zeta=0

となる。 つまり22つの経路に沿った積分値は等しい。

そこで

F(z)=∫Γzf(ζ)dζ=∫Γz′f(ζ)dζF(z)=\int_{\Gamma_z}f(\zeta)d\zeta=\int_{\Gamma'_z}f(\zeta)d\zeta

と定義する。 これはDD上の一価関数である。

FFが原始関数であること

FFが正則でF′=fF'=fであることを示す。 そのためにFFの偏導関数を計算してコーシーリーマンの方程式を確かめる。

z=x+iyz=x+iyとする。 xxについての偏微分には、最後の区間が実軸に平行な経路Γz′\Gamma'_zを使うのが便利である。 Γz′\Gamma'_zの最後の区間はRe⁡a+iy\Re a+iyからx+iyx+iyへの線分だから

F(z)=∫Γz′f(ζ)dζ=(xによらない部分)+∫Re⁡axf(s+iy)dsF(z)=\int_{\Gamma'_z}f(\zeta)d\zeta=(\text{$x$によらない部分})+\int_{\Re a}^{x}f(s+iy)ds

と書ける。 微積分学の基本定理により

∂F∂x(z)=f(x+iy)=f(z)\frac{\partial F}{\partial x}(z)=f(x+iy)=f(z)

となる。

同様にyyについての偏微分には、最後の区間が虚軸に平行な経路Γz\Gamma_zを使う。 最後の区間はx+iIm⁡ax+i\Im aからx+iyx+iyへの線分で、パラメータをttとしてdζ=i dtd\zeta=i\,dtだから

F(z)=(yによらない部分)+∫Im⁡ayf(x+it) i dtF(z)=(\text{$y$によらない部分})+\int_{\Im a}^{y}f(x+it)\,i\,dt

であり

∂F∂y(z)=if(x+iy)=if(z)\frac{\partial F}{\partial y}(z)=if(x+iy)=if(z)

となる。

この22つを合わせると

∂F∂y=i∂F∂x\frac{\partial F}{\partial y}=i\frac{\partial F}{\partial x}

である。 F=U+iVF=U+iVと実部・虚部に分けてこの式を書き直すと

Uy+iVy=i(Ux+iVx)=−Vx+iUxU_y+iV_y=i(U_x+iV_x)=-V_x+iU_x

となり、実部と虚部を比較して

Uy=−Vx,Vy=UxU_y=-V_x,\quad V_y=U_x

すなわちコーシーリーマンの方程式が得られる。

さらにffは正則なので特に連続であり、FFの偏導関数ffとififは連続である。 よってFFはC1C^1級であり、コーシーリーマンの方程式を満たすから正則である。 その導関数は

F′(z)=∂F∂x(z)=f(z)F'(z)=\frac{\partial F}{\partial x}(z)=f(z)

である。

以上でFFがffの原始関数であることが示された。 原始関数を持つ関数の閉曲線に沿った積分は00であったから、定理の後半も従う。

領域の形が効いていること

上の議論では、円板であることを22つの場面で使った。

一つはL字型の経路とそれが囲む長方形が領域に含まれること、もう一つはFFが一価に定まることである。 どちらも領域の形に依存する性質である。

実際、DDが円板から中心を除いた領域の場合には、この議論は通用しない。 そしてコーシーの積分定理も成立しない。 f(z)=1zf(z)=\dfrac{1}{z}を0<∣z∣<10<\lvert z\rvert<1で考えると、原点を囲む円周に沿った積分は2πi2\pi iであって00にならないからである。

つまりコーシーの積分定理は、正則性だけでなく領域の形（穴が空いていないこと）を必要とする定理である。 次の記事では円板より広い星形領域について同じことを示し、その後で領域の形についての条件を位相幾何的に定式化する。