コーシーリーマンの方程式

複素関数としての微分可能性と、実二変数関数としての全微分可能性を区別する条件を記述するのがコーシーリーマンの方程式である。

方程式

f(z)f(z)の実部と虚部をu,vu, vとし、z=x+iyz=x+iyの関数としてf(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)とおく。

コーシーリーマンの方程式
{∂u∂x=∂v∂y∂u∂y=−∂v∂x\begin{cases} \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y} \\ \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x} \\ \end{cases}

をコーシーリーマンの方程式という。

例

正則関数の例で見たいくつかの実例について、コーシーリーマンの方程式を確かめよう。

f(z)=zf(z)=zの場合

f(z)=zf(z)=zに対し、実部はu(x,y)=xu(x,y)=xであり、虚部はv(x,y)=yv(x,y)=yである。

∂u∂x=∂v∂y=1−∂u∂y=∂v∂x=0\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=1\\\\ -\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}=0

となり、コーシーリーマンの方程式が成立する。

f(z)=z2,z3f(z)=z^2, z^3などについても直接確かめよ。

f(z)=zˉf(z)=\bar{z}の場合

f(z)=zˉf(z)=\bar{z}に対し、実部はu(x,y)=xu(x,y)=xであり、虚部はv(x,y)=−yv(x,y)=-yである。

∂u∂x=1,∂v∂y=−1\frac{\partial u}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=-1

なので、コーシーリーマンの方程式は成立しない。 これはzˉ\bar{z}が正則でないことに対応している。

導出

正則関数がコーシーリーマンの方程式を満たすことを確かめよう。

複素関数の微分係数の定義から、h→0h\to0のすべての近づき方について極限

f′(z)=lim⁡h→0f(z+h)−f(z)hf'(z)=\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}

が同じ値になるのであった。 そこでhhを実軸方向と虚軸方向から近づけて、二通りに計算してみる。

まずhhを実数として近づけると

lim⁡h→0f(z+h)−f(z)h=lim⁡h→0(u(x+h,y)−u(x,y)h+iv(x+h,y)−v(x,y)h)\lim_{h\to0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h} =\lim_{h\to0}\left(\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right)

となる。 実部と虚部それぞれの極限が存在するので、

f′(z)=∂u∂x(z)+i∂v∂x(z)f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\frac{\partial v}{\partial x}(z)

である。

次にh=ikh=ik（kkは実数）として近づけると

lim⁡k→0f(z+ik)−f(z)ik=lim⁡k→01i(u(x,y+k)−u(x,y)k+iv(x,y+k)−v(x,y)k)\lim_{k\to0}\frac{f(z+ik)-f(z)}{ik} =\lim_{k\to0}\frac{1}{i}\left(\frac{u(x,y+k)-u(x,y)}{k}+i\frac{v(x,y+k)-v(x,y)}{k}\right)

となり、1i=−i\dfrac{1}{i}=-iであることから

f′(z)=−i∂u∂y(z)+∂v∂y(z)f'(z)=-i\frac{\partial u}{\partial y}(z)+\frac{\partial v}{\partial y}(z)

である。

この二つが一致するので、実部どうし・虚部どうしを比較して

∂u∂x=∂v∂y,−∂u∂y=∂v∂x\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad -\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}

が成立する。

ヤコビ行列による言い換え

コーシーリーマンの方程式は、微分係数を表す行列の形についての制約と読むことができる。

f:C→Cf:\C\to\CをR2→R2\R^2\to\R^2と見て、f(z)=u(x,y)+iv(x,y)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)を(u(x,y)v(x,y))\begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{pmatrix}と表すと、ffのヤコビ行列は

J=(uxuyvxvy)J=\begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}

である。 コーシーリーマンの方程式ux=vyu_x=v_y、uy=−vxu_y=-v_xは、a=uxa=u_x、b=vxb=v_xとおくときJJが

J=(a−bba)J=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}

の形になるという条件に他ならない。

これは複素数a+bia+biを掛ける操作を基底1,i1, iで行列表示したものである。 つまりコーシーリーマンの方程式は、実二変数関数としての微分（ヤコビ行列）が複素数倍として実現できることを述べている。

同じ形の行列を第1章では積の表示として、第2章では写像の表示として見た。 ここではそれが微分係数に課される条件になっている。

ii倍に対応する行列を

K=(0−110)K=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

とおくと、JJがこの形であることはJK=KJJK=KJ、すなわちJJがKKと可換であることと同値である。

幾何的にも読み取れる。 JJの二つの列ベクトル(uxvx)\begin{pmatrix}u_x\\v_x\end{pmatrix}と(uyvy)\begin{pmatrix}u_y\\v_y\end{pmatrix}は、基底ベクトルの像である。 コーシーリーマンの方程式のもとでは、後者は(−vxux)\begin{pmatrix}-v_x\\u_x\end{pmatrix}となり、内積が00になるので二つは直交する。 つまり実軸方向と虚軸方向の直交性が保たれる。 これが一般の曲線の交角についても成り立つというのが、次に扱う等角性である。

十分性

正則ならばコーシーリーマンの方程式を満たすことを見た。 では逆はどうだろうか。

偏導関数が存在してコーシーリーマンの方程式を満たすだけでは不十分で、全微分可能性が必要である。

コーシーリーマンの方程式による正則性の判定

u,vu, vが全微分可能でコーシーリーマンの方程式を満たすならば、f=u+ivf=u+ivは正則である。 このとき

f′(z)=∂u∂x+i∂v∂xf'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}

が成り立つ。

より使いやすい十分条件として、u,vu, vがC1C^1級（偏導関数が存在して連続）でコーシーリーマンの方程式を満たすならば正則である。 C1C^1級であれば全微分可能だからである。

∂ˉ\bar\partial作用素

コーシーリーマンの方程式は、複素係数の偏微分作用素を導入すると一本の式にまとめられる。

∂\partialと∂ˉ\bar\partial
∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y),∂∂zˉ=12(∂∂x+i∂∂y)\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\right),\quad \frac{\partial}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)

と定める。

この定義はx=z+zˉ2x=\dfrac{z+\bar{z}}{2}、y=z−zˉ2iy=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}を連鎖律に代入して得られる。

コーシーリーマンの方程式の複素形

ffについてコーシーリーマンの方程式が成り立つことは

∂f∂zˉ=0\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0

と同値である。

証明

f=u+ivf=u+ivを代入すると

∂f∂zˉ=12(∂∂x+i∂∂y)(u+iv)=12((ux−vy)+i(vx+uy))\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} =\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)(u+iv) =\frac{1}{2}\bigl((u_x-v_y)+i(v_x+u_y)\bigr)

となる。 これが00であることは、実部と虚部がともに00であること、すなわちux=vyu_x=v_yかつuy=−vxu_y=-v_xと同値である。

この形は「正則関数とはzˉ\bar{z}に依存しない関数である」という直感を表している。 zzとzˉ\bar{z}を独立変数のように扱うと、ffがzzだけの関数であることが正則性に対応するわけである。