最大値の原理

次の定理は、領域（連結な開集合）の上で定数でない正則関数を考えると、その絶対値は最大値を持たないというものである。

連結性が効いていることに注意しよう。離れた二つの円板の和集合の上で、一方では $0$ 、他方では $1$ という値をとる関数は正則で定数でないが、絶対値は最大値 $1$ を持つ。

有界領域 $D$ で $f$ が $\overline{D}$ まで連続かつ $D$ で正則なら、 $\lvert f\rvert$ は $\overline{D}$ 上で最大値をとり、それは境界上で達成される、という形で述べることもある。 $\overline{D}$ が有界閉集合であることと $f$ の連続性から最大値の存在が保証される点が要る。

リュービルの定理と似ているが、最大値の存在と有界であることには差があることに注意する。また、こちらは一般の定義域に対して述べていることも違いである。

最大値の原理

$D$ を領域（連結な開集合）とする。 $f:D\to\C$ が正則で定数でないなら、 $\lvert f\rvert$ は $D$ 上で最大値を持たない。

対偶を取れば、 $f:D\to\C$ が正則で、 $\lvert f(z)\rvert$ が最大値を持つならば $f$ は定数である、という主張になる。

証明

$\alpha\in D$ で $f$ の絶対値 $\lvert f(z)\rvert$ が最大値を持つとする。このとき、任意の $z \in D$ について $\lvert f(z)\rvert\leq\lvert f(\alpha)\rvert$ である。

$C$ を $\alpha$ 中心半径 $r$ の円で、その内部も含めて $D$ に含まれるものとする。これに対し、コーシーの積分公式から、

\lvert f(\alpha)\rvert=\left\lvert\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-\alpha}dz\right\rvert \leq\frac{1}{2\pi}\int_C\frac{\lvert f(z)\rvert}{\lvert z-\alpha\rvert}\lvert dz\rvert \leq\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\lvert f(\alpha)\rvert}{r}\cdot2\pi r=\lvert f(\alpha)\rvert

となる。両端が一致するので、途中の不等号はすべて等号である。

ここから円周上の各点で $\lvert f\rvert$ が一定であることを導こう。 $C$ を $z=\alpha+re^{i\theta}$ とパラメータづけると、等号から

\int_0^{2\pi}\Bigl(\lvert f(\alpha)\rvert-\lvert f(\alpha+re^{i\theta})\rvert\Bigr)d\theta=0

である。被積分関数は $\lvert f\rvert$ の連続性から連続で、最大値の仮定より $0$ 以上である。もしある $\theta_0$ で真に正ならば、連続性からその近くの弧でも値の半分以上になり、積分は真に正になってしまう。よって被積分関数は恒等的に $0$ であり、円周 $C$ 上で $\lvert f(z)\rvert=\lvert f(\alpha)\rvert$ である。

$C$ の半径 $r$ を動かすことで、 $\alpha$ を中心とするある円板内部 $B$ において $\lvert f(z)\rvert$ は一定である。

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ と実部虚部に分ける。 $\lvert f(z)\rvert^2=u(x,y)^2+v(x,y)^2$ であり、上でとった $B$ の内部においてはこれが定数 $c$ になる。

$c=0$ のときは $B$ 上で $f\equiv0$ である。以下 $c>0$ とする。 $u^2+v^2=c$ を $x$ と $y$ でそれぞれ偏微分すると

uu_x+vv_x=0,\qquad uu_y+vv_y=0

となる。コーシーリーマン方程式 $u_y=-v_x$ 、 $v_y=u_x$ を第二式に代入すると

-uv_x+vu_x=0

である。

これらを $(u_x, v_x)$ についての連立一次方程式

\begin{cases} uu_x+vv_x=0\\ vu_x-uv_x=0 \end{cases}

とみると、その係数行列の行列式は $-(u^2+v^2)=-c\neq0$ である。よって $u_x=v_x=0$ である。さらにコーシーリーマン方程式から $u_y=v_y=0$ となり、 $B$ 内部で $u, v$ の偏導関数がすべて $0$ になる。よって $B$ 内部において $f(z)$ は定数である。したがって、一致の定理より $D$ 内部で $f(z)$ は定数である。

演習

有界でも最大値を取るとは限らない

単位円板 $D=\{\lvert z\rvert<1\}$ 上で $f(z)=z$ を考える。 $\lvert f\rvert$ が有界であるが最大値を取らないことを確かめよ。

解答

$z\in D$ では $\lvert f(z)\rvert=\lvert z\rvert<1$ であるから $\lvert f\rvert$ は $1$ で上から抑えられる。

一方、 $z=1-\dfrac{1}{n}$ とすれば $\lvert f(z)\rvert=1-\dfrac{1}{n}$ であり、 $n\to\infty$ で $1$ に近づく。よって上限は $1$ である。しかし $\lvert f(z)\rvert=1$ となる $z$ は $D$ に存在しないので、最大値は取らない。

$f$ は定数でない正則関数なので、最大値の原理どおりである。有界であることと最大値を取ることは別であり、開集合の上では上限に達しないことが起こりうる。

境界で

0

なら恒等的に

0

$D$ を有界領域とし、 $f$ は $D$ で正則、 $D$ の閉包 $\overline{D}$ で連続とする。 $D$ の境界 $\partial D$ 上で $f=0$ ならば、 $D$ 上で $f\equiv0$ であることを示せ。

解答

$\overline{D}$ は有界閉集合、すなわちコンパクトであり、 $\lvert f\rvert$ はその上で連続だから最大値を取る。

最大値を取る点が $D$ の内部にあるとすると、最大値の原理より $f$ は $D$ 上で定数である。その定数を $c$ とすると、 $\overline{D}$ での連続性から境界でも $f=c$ であり、仮定より $c=0$ である。よって $f\equiv0$ である。

最大値を取る点が境界上にしかない場合は、そこでの値が $0$ なので最大値は $0$ である。すなわち $\overline{D}$ 全体で $\lvert f\rvert\leq0$ であり、やはり $f\equiv0$ である。

いずれの場合も $f\equiv0$ を得る。

仮定の役割。 有界性と閉包での連続性は、 $\overline{D}$ がコンパクトになり $\lvert f\rvert$ が最大値を取ることを言うために使った。

有界性は落とせない。 $D=\C\setminus\{0\}$ とすると、これは有界でない領域で、境界は $\{0\}$ である。 $f(z)=z$ は $D$ で正則、 $\overline{D}=\C$ で連続、境界 $\{0\}$ で $f=0$ を満たすが、恒等的に $0$ ではない。 $\overline{D}$ がコンパクトでないので $\lvert f\rvert$ は最大値を取らず、上の議論が働かない。

閉包での連続性も落とせない。 $D=\{\lvert z\rvert<1\}$ とし、 $\overline{D}$ の上で

f(z)=\begin{cases}1,&\lvert z\rvert<1\\0,&\lvert z\rvert=1\end{cases}

と定めると、 $f$ は $D$ で正則で境界では $0$ だが、 $D$ 上で恒等的に $0$ ではない。連続性がないと、境界で指定した値が内部からの極限と無関係になってしまい、境界の情報が内部に伝わらないのである。