コーシーの積分公式

コーシーの積分公式

正則関数f:D→Cf:D\to\Cとa∈Da\in Dに対し、CrC_rを中心aaで半径rrの円周に反時計回りに向きをつけたものとする。 CrC_rおよびその内部がDDに含まれるならば、

f(a)=12πi∫Crf(z)z−adzf(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}dz

が成り立つ。

つまり、正則関数ffの内部の点z=az=aでの値が、境界である円周CrC_r上のffの値だけから復元できる。 正則関数は境界の値で内部が決まってしまう、という強い剛性を表している。

核12πi1z−a\dfrac{1}{2\pi i}\dfrac{1}{z-a}をδ\delta関数になぞらえたくなるが、そう考えるのは適切でない。 aaは積分路CrC_rの上の点ではなく内部の点であり、核がCrC_r上のどこかに集中しているわけではないからである。

証明

まず証明の方針を説明しよう。 被積分関数f(z)z−a\dfrac{f(z)}{z-a}はD∖{a}D\setminus\{a\}で正則なので、コーシーの積分定理によりrrを小さくしても積分値は変化しない。

r→0r\to0の極限を考えると、CrC_rは一点に近づく。 f(a)≠0f(a)\neq0のときf(z)z−a\dfrac{f(z)}{z-a}は無限大に発散するので、ある種の不定形の極限のようになっている。 （f(a)=0f(a)=0なら有界なこともあるが、以下の議論はどちらの場合も同じように進む。） ここを処理するために、f(z)−f(a)z−a+f(a)z−a\dfrac{f(z)-f(a)}{z-a}+\dfrac{f(a)}{z-a}と分解する。

1つ目の項はaaでの微分可能性からr→0r\to0で有界となり、線積分は00に収束する。 2つ目の項は直接計算できる。

証明f(z)z−a=f(z)−f(a)z−a+f(a)z−a\frac{f(z)}{z-a}=\frac{f(z)-f(a)}{z-a}+\frac{f(a)}{z-a}

であるので、

∫Crf(z)z−adz=∫Crf(z)−f(a)z−adz+∫Crf(a)z−adz\int_{C_r}\frac{f(z)}{z-a}dz=\int_{C_r}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz+\int_{C_r}\frac{f(a)}{z-a}dz

である。

∫Crf(a)z−adz=2πif(a)\int_{C_r}\frac{f(a)}{z-a}dz=2\pi if(a)

であるので、残った積分が00であることを示せばよい。

ffがaaで正則であることから、

lim⁡z→af(z)−f(a)z−a=f′(a)\lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}=f'(a)

であり、あるM>0M>0を用いて任意の十分小さなrrに対しz∈Crz\in C_rならば

∣f(z)−f(a)z−a∣<M\left\lvert\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\right\rvert < M

とできる。

そのような十分小さなrrに対し、

∣∫Crf(z)−f(a)z−adz∣≤∫Cr∣f(z)−f(a)z−a∣∣dz∣≤2πrM\left\lvert\int_{C_r}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz\right\rvert \leq \int_{C_r}\left\lvert\frac{f(z)-f(a)}{z-a}\right\rvert\lvert dz\rvert \leq 2\pi rM

である。 コーシーの積分定理により左辺の積分はrrに依存しない。 一方で2πrM2\pi rMはr→0r\to 0で00に収束するため、

∫Crf(z)−f(a)z−adz=0\int_{C_r}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}dz=0

である。

一般の閉曲線に対するコーシーの積分公式

コーシーの積分定理を用いた経路の連続変形により、円周以外の閉曲線に対しても同様の公式が成り立つ。

一般の閉曲線に対するコーシーの積分公式

正則関数f:D→Cf:D\to\Cとa∈Da\in Dとする。 閉曲線CCがD∖{a}D\setminus\{a\}において、aa中心の十分小さな半径rrの円周（反時計回り）に連続変形できるとする。 このとき、

f(a)=12πi∫Cf(z)z−adzf(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(z)}{z-a}dz

が成り立つ。

計算例

コーシーの積分公式の計算例

CCを原点中心で半径22の円周に反時計回りに向きをつけたものとする。

z=1z=1はCCの内部にあるから、コーシーの積分公式より

∫Cezz−1dz=2πie\int_C\frac{e^z}{z-1}dz=2\pi ie

である。

また、部分分数分解を用いると

∫Cezz2−1dz=∫Cez2(1z−1−1z+1)dz=12⋅2πi(e−e−1)=πi(e−e−1)\int_C\frac{e^z}{z^2-1}dz=\int_C\frac{e^z}{2}\left(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}\right)dz =\frac{1}{2}\cdot 2\pi i(e-e^{-1})=\pi i(e-e^{-1})

と計算できる。

演習

適用条件を場合分けする

CCを反時計回りの単位円周とする。

∫Cezz−adz\int_C\frac{e^z}{z-a}dz

を、∣a∣<1\lvert a\rvert<1、∣a∣>1\lvert a\rvert>1、∣a∣=1\lvert a\rvert=1の各場合について考えよ。

解答

∣a∣<1\lvert a\rvert<1のとき。 aaはCCの内部にあり、eze^zはCCとその内部を含む領域で正則である。 コーシーの積分公式がそのまま使えて

∫Cezz−adz=2πiea\int_C\frac{e^z}{z-a}dz=2\pi ie^a

である。

∣a∣>1\lvert a\rvert>1のとき。 aaはCCの外部にあるので、被積分関数ezz−a\dfrac{e^z}{z-a}はCCとその内部を含む円板で正則である。 コーシーの積分定理により積分は00である。

∣a∣=1\lvert a\rvert=1のとき。 aaが積分路CCの上に乗ってしまう。 被積分関数はCC上で定義されないので、線積分そのものが定まらない。

どの定理を使うかはaaの位置で決まる。 内部なら積分公式、外部なら積分定理であり、曲線上のときはそもそも適用対象でない。 「内側でどの関数が正則か」を毎回確認する習慣をつけるとよい。