リュービルの定理

コーシーの積分公式を用いてリュービルの定理を証明し、 その応用として、11次以上の任意の多項式が複素数の範囲で解を持つという事実を導こう。

リュービルの定理とはC\C上正則で有界な関数は定数のみであることを主張する定理である。 対偶をとると、C\C上正則で定数でない関数ffは有界でない。

リュービルの定理

複素平面C\C全体で正則な関数ffに対し、 ある定数MMが存在して任意のz∈Cz\in\Cに対して∣f(z)∣<M\lvert f(z) \rvert<Mであるとする。 このとき、ffは定数関数である。

証明

C\C全体で正則な関数f(z)f(z)に対し、∣f(z)∣\lvert f(z)\rvertの上界を一つとりMMとする。 つまり、任意のz∈Cz\in\Cに対し∣f(z)∣<M\lvert f(z) \rvert<Mであるような正の実数MMを一つとる。

以下ではまず任意のa∈Ca\in\Cに対しf′(a)=0f'(a)=0であることを証明する。 a∈Ca\in\Cを一つとり、正の実数rrを一つとる。 CCを半径rrで中心z=az=aの円周とすると、微分係数の積分表示から、

f′(a)=12πi∫Cf(ζ)(ζ−a)2dζf'(a)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^2}d\zeta

となる。 よって、積分の三角不等式により、

∣f′(a)∣≤12π∫C∣f(ζ)∣∣ζ−a∣2∣dζ∣≤12π∫CMr2∣dζ∣≤Mr\lvert f'(a) \rvert\leq\frac{1}{2\pi}\int_C\frac{\lvert f(\zeta) \rvert}{\lvert\zeta-a\rvert^2}\lvert d\zeta \rvert\\\\ \leq\frac{1}{2\pi}\int_C\frac{M}{r^2}\lvert d\zeta\rvert \leq \frac{M}{r}

となる。 ffがC\C全体で正則であるため、この評価は任意のr>0r>0で成り立つ。 r→∞r\to\inftyとすると右辺は00に収束するので、∣f′(a)∣=0\lvert f'(a)\rvert=0すなわちf′(a)=0f'(a)=0である。

よって任意のz∈Cz\in\Cでf′(z)=0f'(z)=0となることがわかり、f(z)f(z)は定数関数であることが示された。

リュービルの定理を用いると、任意の11次以上の多項式は複素数の範囲で根を持つという代数学の基本定理を証明することができる。

代数学の基本定理

11次以上の複素数係数多項式は複素数の範囲に解を持つ。

証明

P(z)P(z)を11次以上の多項式とし、解を持たないと仮定する。 このとき1P(z)\dfrac{1}{P(z)}はC\C全体で正則である。 z→∞z\to\inftyで∣P(z)∣→∞\lvert P(z)\rvert\to\inftyだから、十分大きなRRに対し∣z∣>R\lvert z\rvert>Rで∣1P(z)∣<1\left\lvert\dfrac{1}{P(z)}\right\rvert<1である。 一方∣z∣≤R\lvert z\rvert\leq Rは有界閉集合なので、その上で連続な∣1P(z)∣\left\lvert\dfrac{1}{P(z)}\right\rvertは最大値を持つ。 よって1P(z)\dfrac{1}{P(z)}はC\C上で有界である。

リュービルの定理より1P(z)\dfrac{1}{P(z)}は定数となり、P(z)P(z)も定数となる。 これはPPが11次以上であることに矛盾する。

演習

実数上の有界性では足りない

sin⁡z\sin zは実軸上では∣sin⁡x∣≤1\lvert\sin x\rvert\leq1と有界である。 それでもリュービルの定理からsin⁡z\sin zが定数だと結論できない理由を述べよ。

解答

リュービルの定理が要求するのはC\C全体での有界性であって、実軸上での有界性ではない。

実際sin⁡z\sin zは有界でない。 yyを実数としてz=iyz=iyとすると

sin⁡(iy)=ei(iy)−e−i(iy)2i=e−y−ey2i=isinh⁡y\sin(iy)=\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}=\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=i\sinh y

であるから

∣sin⁡(iy)∣=∣sinh⁡y∣=ey−e−y2(y>0)\lvert\sin(iy)\rvert=\lvert\sinh y\rvert=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}\quad(y>0)

となり、y→∞y\to\inftyで無限大に発散する。

したがって仮定を満たさず、定理は適用できない。

実関数として持っていた「有界」という性質が複素数に拡張すると失われる、という典型例である。 cos⁡z\cos zについても同様で、cos⁡(iy)=cosh⁡y\cos(iy)=\cosh yは非有界である。