線積分の基本的な性質

置換積分の公式によれば、複素線積分の値はパラメータの表示の仕方によらない。より正確には、向きを保つ変換によって、複素線積分の値は変わらない。

パラメータの取り替え

曲線 $C$ のパラメータ表示 $z(t)$ を単調増加で滑らかな関数 $t=\phi(s)$ を用いて、 $w(s)=z(\phi(s))$ に置き換える。ここで単調増加であることはポイント。次に述べる向きに関係する。

置換積分の公式と、合成関数の微分公式を用いることで

\int_a^bf(z(t))z'(t)dt=\int_c^df(z(\phi(s)))z'(\phi(s))\phi'(s)ds=\int_c^df(w(s))w'(s)ds

と計算できる。つまり、どちらのパラメータ表示でも同じ結果が得られる。

パラメータ表示の例

$1$ から $-1$ への上半円を $z(t)=e^{it}, 0\leq t\leq \pi$ でパラメータ表示するか、 $w(s)=e^{2is}, 0\leq s\leq\dfrac{pi}{2}$ でパラメータ表示するか。

曲線の向きを逆にすると線積分の値は $-1$ 倍される。曲線 $C$ の向きを逆にした曲線を $-C$ と表すことにする。ここでは、 $-C$ は $C$ のパラメータづけ $z(t), a\leq t\leq b$ に対して $z(-t), -b\leq t\leq -a$ で定まるもの。

逆向きの線積分

このとき

\int_{-C}f(z)dz=-\int_Cf(z)dz

が成り立つ。

逆向きの証明

$\dfrac{d}{dt}(z(-t))=-\dfrac{d}{dt}z(t)$ であるから、積分の値は $-1$ 倍される。

逆向きの例

$C$ を単位円の反時計回り向きとする。パラメータづけを $z(t)=e^{it}, 0leq t\leq 2\pi$ で与える。これに対して、 $-C$ は $w(t)=e^{-it}, -\pi\leq t\leq 0$ である。

曲線の分割

\int_Cf(z)dz=\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2}f(z)dz

このことを用いて区分的に滑らかな曲線上の線積分を定めることができる。

円の分割

図が必要。 $C$ を円として、その直径を引いて二つに分けたものを $C_1, C_2$ とする。向きを「反時計回り」につけることで、

\int_C=\int_{C_1}+\int_{C_2}

となる。

同心円の分割

同心円 $C, C'$ をその「直径」で二つに分けて $C_1, C_2$ とする。向きを「反時計回り」につけることで

\int_{C_1}+\int_{C_2}=\int_C-\int_{C'}

となる。

長方形の分割

長方形 $R$ を $4$ 分割して、それぞれを $R_1, R_2, R_3, R_4$ とする。向きを「反時計回り」につけることで

\int_R=\sum_i\int_{R_i}

となる。

積分値の絶対値評価については次が成り立つ。

積分の三角不等式

\left\lvert\int_Cf(z)dz\right\rvert\leq\int_C\lvert f(z)\rvert \lvert dz\rvert

が成り立つ。

$\lvert dz\rvert$ とは？ $\sqrt{dx^2+dy^2}$ であり、 $z=z(t)$ による引き戻しは $z'(t)dt$ である。

積分と極限の順序交換については次が成り立つ。

積分と極限の交換

連続な複素関数の列 $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ が「曲線 $C$ 上で」 $f$ に一様収束するとする。このとき、

\lim_{n\to\infty}\int_Cf_n(z)dz=\int_C\lim_{n\to\infty}f_n(z)dz=\int_Cf(z)dz

がなりたつ。