指数関数と三角関数

複素数に対する指数関数を定義しよう。 $e^z, \exp(z)$をどう定義するか。 いくつかのやり方がある。 冪級数、オイラーの公式、微分方程式など。 等角な拡張として特徴づけられる。

実数における指数関数を拡張すること、指数関数を満たすこと。

冪級数

実数の範囲で、指数関数$e^x$のテイラー展開が

であることを利用する。 この冪級数は全ての複素数で収束するため、関数$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$を定義する。

二項定理を用いることで、複素数に対しても指数法則が成り立つことが証明できる。

また（実関数としての）三角関数のテイラー展開と比較することでオイラーの公式

が証明できる。

これを通して周期$2\pi i$を持つこともわかる。

オイラーの公式

天下りに$z=x+iy$に対して

と定義してみる。 ここでは実数の範囲での指数関数と三角関数しか用いていないことに注意する。

すると、これについて$u, v$は全微分可能であり、コーシーリーマン方程式を満たすことも直接計算できる。 さらに導関数は$f'(z)=f(z)$となることもわかる。 上で与えた天下りな式は、指数法則の等角性から導出することもできる。 この関数について、周期$2\pi i$をもつ。 特に単射ではないため、全域で逆関数を持たない。

等角性

$\exp z$は正則関数である。 そもそも複素関数としての$\exp z$はどう定義されるか。

指数法則と等角性を用いて拡張する。 まず、指数法則から$\exp(x+yi)=\exp(x)\exp(yi)$となり、実数に対する$\exp(x)=e^x$はすでに定義されているため、 $\exp(yi)$を定義すればよい。

ここで、$\exp(x)$は$x$を動かすと実数倍されるため、その軌跡は原点から放射状に伸びる半直線になる。 これらの半直線と常に直交する曲線は何か？ それは原点を中心とした円である。

指数関数の様子を把握するために、$x$一定の曲線や$y$一定の曲線がどのようにうつるかをみておこう。

三角関数

複素関数としての三角関数を定義しよう。

上の指数関数の定義において、実数$\theta$にたいし、$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$となることから、

が成り立つ。

そこで、同じ式用いてそのまま複素数に拡張する。

すると、これは実数に対する三角関数と同様に、周期$2\pi$をもち、加法定理が成り立つことが、指数関数の周期性と指数法則からわかる。