冪級数

複素数を係数に持つ冪級数

∑n=0∞anzn=a0+a1z+a2z2+⋯\sum_{n=0}^\infty a_nz^n=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots

は、これが収束するz∈Cz\in\Cに対して、関数を定義する。

級数の収束は部分和の極限として定める。 すなわち

SN(z)=∑n=0NanznS_N(z)=\sum_{n=0}^{N}a_nz^n

とおいて、N→∞N\to\inftyでのSN(z)S_N(z)の極限が存在するとき、この冪級数はzzで収束するという。

等比級数

すべてのnnに対しan=1a_n=1とすると

∑n=0∞zn=1+z+z2+⋯\sum_{n=0}^\infty z^n=1+z+z^2+\cdots

は∣z∣<1\lvert z\rvert<1で収束し、その和は11−z\dfrac{1}{1-z}である。 ∣z∣≥1\lvert z\rvert\geq1では発散する。

部分和がz≠1z\neq1のとき

SN(z)=1−zN+11−zS_N(z)=\frac{1-z^{N+1}}{1-z}

となることから分かる。 ∣z∣<1\lvert z\rvert<1ではzN+1→0z^{N+1}\to0なので11−z\dfrac{1}{1-z}に収束し、 ∣z∣≥1\lvert z\rvert\geq1では一般項znz^nが00に近づかないので収束しない。 級数が収束するには一般項が00に収束することが必要であり、この見方なら部分和の公式から除いたz=1z=1も同時に処理できる。

収束するzzの範囲が、収束円の周上を除けば円板になることや、その半径の求め方は冪級数の収束半径で、項別の微分や積分が許されることは冪級数の項別微分と項別積分で扱う。 ここでは「収束すれば関数を定める」ことだけを使う。 指数関数や三角関数は第2章で実関数から定義するが、それらが冪級数でも表せることは第7章の代表的な冪級数展開で見る。