初等関数の冪級数展開

正則関数が冪級数展開できることが分かったので、初等関数について実際に展開を計算してみよう。まず応用としてロピタルの定理を述べ、その後で代表的な初等関数の展開を与える。

ロピタルの定理

$f, g$ が $z=\alpha$ で解析的であり、 $n=0,\ldots,m-1$ に対して $f^{(n)}(\alpha)=g^{(n)}(\alpha)=0$ とする。このとき $g^{(m)}(\alpha)\neq0$ であれば

\lim_{z\to\alpha}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{f^{(m)}(\alpha)}{g^{(m)}(\alpha)}

が成り立つ。

冪級数展開を使えば証明は容易である。仮定から $f(z)=\displaystyle\sum_{n\geq m}\frac{f^{(n)}(\alpha)}{n!}(z-\alpha)^n$ 、 $g$ も同様なので、

\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{(z-\alpha)^m\left(\frac{f^{(m)}(\alpha)}{m!}+O(z-\alpha)\right)}{(z-\alpha)^m\left(\frac{g^{(m)}(\alpha)}{m!}+O(z-\alpha)\right)}

となり、 $(z-\alpha)^m$ が約分できて $z\to\alpha$ の極限が取れる。

ロピタルの定理の計算例

\lim_{z\to e^{2\pi i/n}}\frac{z-e^{2\pi i/n}}{z^n-1}

を求めよう。 $\alpha=e^{2\pi i/n}$ とおくと $\alpha^n=1$ である。分子の導関数は $1$ 、分母の導関数は $nz^{n-1}$ で、 $n\alpha^{n-1}=\dfrac{n\alpha^n}{\alpha}=\dfrac{n}{\alpha}$ であるから、極限は $\dfrac{\alpha}{n}=\dfrac{e^{2\pi i/n}}{n}$ である。

\lim_{z\to 0}\frac{e^z-\cos z-z}{z^2}

は、 $e^z-\cos z-z=\left(1+z+\dfrac{z^2}{2}\right)-\left(1-\dfrac{z^2}{2}\right)-z+O(z^3)=z^2+O(z^3)$ より $1$ である。

\lim_{z\to i}\frac{\cosh(\pi z/2)}{\operatorname{Log}(-iz)}

は、 $z=i$ で分子・分母ともに $0$ になる。分子の導関数は $\dfrac{\pi}{2}\sinh(\pi z/2)$ で $z=i$ では $\dfrac{\pi}{2}\sinh\dfrac{\pi i}{2}=\dfrac{\pi i}{2}$ 、分母の導関数は $\dfrac{1}{z}$ で $z=i$ では $-i$ である。よって極限は $\dfrac{\pi i/2}{-i}=-\dfrac{\pi}{2}$ である。

代表的な冪級数展開

微分係数の積分表示で見たように、正則関数はテイラー展開できる。 $f$ が $\lvert z-a\rvert<R$ で正則ならば、その範囲で

f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^n

が成り立つ。これを使えば、第2章で定義した初等関数の展開を計算できる。

指数関数

第2章では $\exp(x+iy)=e^x(\cos y+i\sin y)$ を定義とし、冪級数との一致は後で確かめると述べた。ここで回収する。

第3章の初等関数の正則性で $\exp'=\exp$ を示した。繰り返せば $\exp^{(n)}=\exp$ であり、 $\exp(0)=1$ だから $\exp^{(n)}(0)=1$ である。 $\exp$ は $\C$ 全体で正則なので $a=0$ 、 $R=\infty$ としてテイラー展開でき、

e^z=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}z^n

を得る。収束半径は $\infty$ である。

依存関係の確認

$\exp$ の冪級数展開を得るのに $\exp'=\exp$ を使い、その $\exp'=\exp$ の証明にこの展開を使っていたのでは循環する。そうなっていないことを、ここで一度確かめておく。

第2章： $\exp(x+iy)=e^x(\cos y+i\sin y)$ を定義とする。使うのは実関数 $e^x,\cos y,\sin y$ だけである
第3章： $h=s+it$ として実関数の原点での微分を代入し、 $\exp(h)=1+h+o(\lvert h\rvert)$ から $\exp'=\exp$ を示す。冪級数は使わない
第6章：コーシーの積分公式を示す。指数関数とは独立である
第7章：積分公式から正則関数がテイラー展開できることを示す
本記事：2と4から係数 $\exp^{(n)}(0)/n!=1/n!$ を計算する

各段は一つ前までの結果しか使っておらず、どこにも戻る矢印がない。次に、三角関数の展開を $\exp$ の展開から導く。

三角関数

三角関数は $\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ 、 $\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ と定義した。指数関数の展開に $\pm iz$ を代入して足し引きすると、奇数次または偶数次の項が消えて

\cos z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n},\qquad \sin z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}

となる。いずれも収束半径は $\infty$ である。

対数関数

対数関数の主値は

\operatorname{Log}(1+z)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n

で、収束半径は $1$ である。 $z=-1$ が特異点なので、それ以上には広がらない。

冪関数

冪関数は、 $\lvert z\rvert<1$ において主値 $\operatorname{Log}$ を用いて

(1+z)^\alpha=\exp(\alpha\operatorname{Log}(1+z))

と分枝を定めると

(1+z)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\binom{\alpha}{n}z^n

で、収束半径は $\alpha$ が非負整数のとき $\infty$ 、それ以外のとき $1$ である。ここで $\binom{\alpha}{n}$ は一般化二項係数

\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}

である。

分枝を指定しないとこの等式は意味を持たない。右辺の定数項は $1$ なので、原点で値 $1$ を取る分枝を選んでいる。例えば $\alpha=\dfrac{1}{2}$ で原点の値が $-1$ の平方根を選べば、左辺は右辺の $-1$ 倍になる。

冪級数の演算による計算

新しい展開は、既知の展開の和・積・合成や、変数の置き換え、項別微積分から得られることが多い。収束半径については次の見方が有用である。

$f$ が $\alpha$ の周りで冪級数展開できるとき、その収束半径は $\alpha$ から $f$ の最も近い特異点までの距離に等しい。有理関数なら、約分したあとに実際に残る極までの距離を見ればよい。

分母の零点をそのまま数えてはいけない。例えば $\dfrac{z^2-1}{z-1}$ は $z=1$ で分母が $0$ になるが、約分すると $z+1$ であり除去可能特異点なので、 $z=0$ 中心の収束半径は $\infty$ である。

同じ理由で、定義域を人為的に狭めたり分枝切断を入れたりしても、その境界がそのまま展開を妨げる特異点になるわけではない。効くのは、延長できない本当の特異点までの距離である。

冪級数展開の計算例

いずれも指示された点を中心とする展開と収束半径を求める。

$f(z)=e^{2z}$ （ $z=0$ ）： $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{2^n}{n!}z^n$ 、 $R=\infty$ 。

$f(z)=\dfrac{1}{z^2+1}$ （ $z=0$ ）：等比級数より $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^{2n}$ 、 $R=1$ 。特異点 $\pm i$ までの距離が $1$ 。

$f(z)=\dfrac{1}{z+1}$ （ $z=1$ ）： $\dfrac{1}{2+(z-1)}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{1+\frac{z-1}{2}}$ より $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(z-1)^n$ 、 $R=2$ 。特異点 $z=-1$ までの距離。

$f(z)=\cos z$ （ $z=0$ ）： $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}$ 、 $R=\infty$ 。

$f(z)=\dfrac{1}{z^2-3z+2}$ （ $z=0$ ）：部分分数分解 $\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1}$ から $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)z^n$ 、 $R=1$ 。特異点 $z=1, 2$ のうち近い方までの距離。

$f(z)=z^2\cos z^2$ （ $z=0$ ）： $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{4n+2}$ 、 $R=\infty$ 。

$f(z)=(1+z)e^z$ （ $z=0$ ）： $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{n+1}{n!}z^n$ 、 $R=\infty$ 。

項別微積分を用いた計算例

$\log(1+z)$ （ $z=0$ ）： $(\operatorname{Log}(1+z))'=\dfrac{1}{1+z}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty(-1)^nz^n$ を項別積分して $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n}z^n$ 、 $R=1$ 。

$\sin z$ （ $z=0$ ）： $(\cos z)'=-\sin z$ より $\cos z$ の展開を項別微分して符号を変え、 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}$ 、 $R=\infty$ 。

$\dfrac{1}{(1-z)^3}$ （ $z=0$ ）： $\dfrac{1}{1-z}=\displaystyle\sum_nz^n$ を $2$ 回項別微分すると $\dfrac{2}{(1-z)^3}$ になるので、 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\binom{n+2}{2}z^n$ 、 $R=1$ 。

$\dfrac{1}{\cos z}$ （ $z=0$ ）： $1+\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{5z^4}{24}+\cdots$ 、 $R=\dfrac{\pi}{2}$ 。 $\cos z$ の最も近い零点までの距離。

$\tan z$ （ $z=0$ ）： $z+\dfrac{z^3}{3}+\dfrac{2z^5}{15}+\cdots$ 、 $R=\dfrac{\pi}{2}$ 。

$\dfrac{1}{1-\sin z}$ （ $z=0$ ）： $1+z+z^2+\dfrac{5}{6}z^3+\cdots$ 、 $R=\dfrac{\pi}{2}$ 。 $1-\sin z$ の零点 $z=\dfrac{\pi}{2}$ までの距離。

最後の三つのように展開の一般項が簡単に書けない場合でも、収束半径は特異点の位置から読み取れる。これは複素関数として見て初めて分かることである。例えば実関数として $\dfrac{1}{1+x^2}$ を見ても、 $x=0$ でのテイラー展開の収束半径が $1$ である理由は説明できないが、複素数の範囲で $\pm i$ が特異点だと分かれば納得できる。