複素数の四則演算

複素数とは

複素数とは、実数の組$x, y$を用いて定まる数 $z=x+yi$ $x$を$z$の実部といい$Re(z)$で表す。 $y$を$z$の虚部といい$Im(z)$で表す。 また、$i$を虚数単位という。

複素数全体の集合を$\mathbb{C}$と表す。 $z\in\mathbb{C}$であれば、一意的に実数$x, y$を用いて$z=x+yi$と表すことができる。 二つの複素数が一致することは、実部と虚部が共に等しいこととして定義する。 つまり、$z=x+yi, z'=x'+y'i$について、$z=z'$であることと$x=x'$かつ$y=y'$であることが同値である。

複素数全体の集合は、集合としては実数の対全体の集合$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$と思うことができる。 この集合に四則演算を、特に$i^2=-1$となるように複素数の積を定める。

四則演算

足し算と引き算はベクトル空間$\mathbb{R}^2$のものと同じである。 つまり実部同士と虚部同士をそれぞれ足し引きすればいい。

この定義のもとで、$a+bi=(a+0i)+(0+bi)$である。

掛け算は次のように定める。

これは、$i^2=-1$かつ実双線形（分配法則を満たす）という条件で特徴づけられる。

この定義のもとで、$bi=(b+0i)(0+1i)$である。

割り算をどう定義するかを考えよう。

とすることで、逆数を定めればよいことになる。

では逆数はどう定めるかというと、

となる複素数$x+yi$が$a+bi$の逆数であるから、この方程式を解けばよい。

すなわち

あるいは行列とベクトルを用いて

を解くことで、$x=\dfrac{a}{a^2+b^2}, y=\dfrac{-b}{a^2+b^2}$となり、

とわかる。

あるいは、$(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$となることを利用して、分子分母に$a-bi$をかけると考えることもできる。

この四則演算について、通常の実数の和や積と同様に結合法則や交換法則、分配法則が成り立つことが証明できる。