複素数とその四則演算

複素数とは

複素数とは、実数 $x, y$ と虚数単位 $i$ を用いて

z=x+yi

と表される数のことである。 $x$ を $z$ の実部といい $\Re(z)$ で、 $y$ を $z$ の虚部といい $\Im(z)$ で表す。複素数全体の集合を $\C$ と表す。

$z\in\C$ であれば、一意的に実数 $x, y$ を用いて $z=x+yi$ と表すことができる。二つの複素数が一致することは、実部と虚部が共に等しいこととして定義する。つまり、 $z=x+yi, z'=x'+y'i$ について、 $z=z'$ であることと $x=x'$ かつ $y=y'$ であることが同値である。したがって、複素数全体の集合は、集合としては実数の対全体の集合 $\R^2=\R\times \R$ と同一視できる。

この集合に四則演算を、特に $i^2=-1$ となるように複素数の積を定める。

加法・減法・乗法

足し算と引き算はベクトル空間 $\R^2$ のものと同じである。つまり実部同士と虚部同士をそれぞれ足し引きすればよい。

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\\\ (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i

この定義のもとで、 $a+bi=(a+0i)+(0+bi)$ である。

掛け算は次のように定める。

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

これは、 $i^2=-1$ かつ分配法則を満たすという条件で特徴づけられる。

この定義のもとで、 $bi=(b+0i)(0+1i)$ である。

実ベクトル空間としての $\C$ と積の行列表示

$\C$ は $\R$ 上のベクトル空間である。ベクトル空間であるためには、加法だけでなく実数によるスカラー倍も要る。スカラー倍は実部と虚部をそれぞれ実数倍するもので、 $r\in\R$ に対し $r(c+di)=rc+rdi$ である。

これは新たに定める必要はない。実数 $r$ を複素数 $r+0i$ とみて積の定義を当てはめると

(r+0i)(c+di)=(rc-0\cdot d)+(rd+0\cdot c)i=rc+rdi

となり、スカラー倍はすでに積の定義から決まっている。この加法とスカラー倍について、 $1, i$ は基底である。すなわち任意の $z\in\C$ は $z=x\cdot 1+y\cdot i$ （ $x, y\in\R$ ）と一意的に表される。

固定した複素数 $\alpha=a+bi$ をかける写像 $z\mapsto\alpha z$ は $\R$ 線形写像である。実際、任意の $z, w\in\C$ と $r\in\R$ に対し $\alpha(z+w)=\alpha z+\alpha w$ および $\alpha(rz)=r(\alpha z)$ が成り立つ。

基底 $1, i$ に関するこの線形写像の行列表示を求めよう。 $\alpha\cdot 1=a+bi$ 、 $\alpha\cdot i=-b+ai$ であるから、

\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax-by\\ bx+ay \end{pmatrix}

となる。すなわち、複素数 $\alpha=a+bi$ による乗法は行列 $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ で表される。

この行列はこの先に何度も現れるが、見る角度が章ごとに変わる。ここでは積という演算を行列で書き表した。第2章では一次関数を平面の写像として見るときに、第3章では微分が満たすべき制約として（コーシーリーマンの方程式）現れる。

割り算

以下 $c+di\neq0$ とする。割り算をどう定義するかを考えよう。

(a+bi)/(c+di)=(a+bi)\times\frac{1}{c+di}

とすることで、逆数を定めればよいことになる。

では逆数はどう定めるかというと、改めて $a+bi\neq0$ として

(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i=1

となる複素数 $x+yi$ が $a+bi$ の逆数であるから、この方程式を解けばよい。

積の行列表示を用いれば、これは連立一次方程式

\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}

を解くことに帰着する。 $x=\dfrac{a}{a^2+b^2}, y=\dfrac{-b}{a^2+b^2}$ となり、

\frac{1}{a+bi}=\dfrac{a}{a^2+b^2}+\dfrac{-b}{a^2+b^2}i

とわかる。

これは、行列 $\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}$ の逆行列を求めていると見ることもできる。この行列の行列式は $a^2+b^2$ で、 $a+bi\neq0$ なら $0$ でないから逆行列が存在し、

\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}

である。その第 $1$ 列が上で求めた $x, y$ にあたる。右辺の行列は複素数 $\dfrac{a-bi}{a^2+b^2}$ の積の行列表示になっており、逆数の行列表示が逆行列になっている。

あるいは、 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ となることを利用して、分子分母に $a-bi$ をかけると考えることもできる。

四則演算の性質

この四則演算について、通常の実数の和や積と同様に結合法則や交換法則、分配法則が成り立つことが証明できる。すなわち $\C$ は体をなす。

四則演算の計算

$\dfrac{1+i}{1-i}$ を $a+bi$ （ $a, b$ は実数）の形で表せ。

解答

分母分子に $1+i$ を掛けると

\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i

である。

発展：多項式の剰余としての複素数

複素数の積の定義は、多項式の計算から自然に出てくるものだと見ることもできる。この節は発展的な内容なので、読み飛ばしても後の議論に差し支えない。

実数係数の $1$ 変数 $t$ の多項式を考え、 $t^2+1$ で割った余りが等しいものを同じとみなす。すなわち $f(t)-g(t)$ が $t^2+1$ で割り切れるとき

f(t)\equiv g(t)\pmod{t^2+1}

と書き、 $f$ と $g$ を区別しない。この合同は和・差・積と両立する。例えば $f\equiv f'$ 、 $g\equiv g'$ ならば、 $fg-f'g'=f(g-g')+(f-f')g'$ は $t^2+1$ で割り切れるので $fg\equiv f'g'$ である。

どの多項式も $1$ 次以下の多項式と合同になる。 多項式 $f(t)$ を $t^2+1$ で割ると、商 $q(t)$ と余り $r(t)$ によって

f(t)=q(t)(t^2+1)+r(t)

と書け、余りの次数は割る式の次数 $2$ より小さい。よって $r(t)=a+bt$ （ $a, b\in\R$ ）の形であり、 $f(t)\equiv a+bt$ となる。

異なる $1$ 次以下の多項式どうしは合同にならない。 $a+bt\equiv c+dt$ とすると、差 $(a-c)+(b-d)t$ が $t^2+1$ で割り切れる。次数 $1$ 以下の多項式が $2$ 次式で割り切れるのは $0$ のときだけなので、 $a=c$ かつ $b=d$ である。

したがって、この合同の意味で多項式を考えることは、 $1$ 次以下の多項式 $a+bt$ を考えることと同じである。集合としては係数の組 $(a, b)$ 全体、すなわち $\R^2$ と同じものになる。

積が複素数の積になる。 和と差は係数ごとの計算なので、複素数の和・差と同じである。要点は積である。

(a+bt)(c+dt)=ac+(ad+bc)t+bdt^2

であり、 $t^2=(t^2+1)-1\equiv-1$ だから

(a+bt)(c+dt)\equiv(ac-bd)+(ad+bc)t

となる。これは複素数の積 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ の定義そのものであり、 $t$ が $i$ の役割を果たしている。実際 $t^2\equiv-1$ であり、 $t$ は「 $2$ 乗すると $-1$ になるもの」になっている。

このように、複素数とは実数係数の多項式を $t^2+1$ で割った余りで計算したものだと考えることができる。これを代数学の言葉では剰余環 $\R[t]/(t^2+1)$ と呼ぶ。この見方では $i$ は変数 $t$ そのものであり、 $i^2=-1$ は約束ではなく計算の結果として出てくる。