複素共役と絶対値

複素共役

z∈Cz\in\mathbb{C}に対し、z=a+biz=a+biであるときzˉ∈C\bar{z}\in\mathbb{C}をzˉ=a−bi\bar{z}=a-biにより定める。 これをzzの複素共役という。

複素共役は2回行うと元に戻る。 つまり、zˉˉ=z\bar{\bar{z}}=zである。

複素共役をとる操作と四則演算は順序を入れ替えることができる。 すなわち以下が成り立つ。

α±β‾=α‾±β‾αβ‾=α‾β‾(αβ)‾=α‾β‾ \overline{\alpha\pm\beta}=\overline{\alpha}\pm\overline{\beta}\\\\ \overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\overline{\beta}\\\\ \overline{\left(\dfrac{\alpha}{\beta}\right)}=\dfrac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}

zzが実数であることは、z=zˉz=\bar{z}と同値である。

zzとzˉ\bar{z}からzzの実部虚部を復元できる。

Re(z)=z+z‾2Im(z)=z−z‾2i Re(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\\\\ Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}

絶対値

複素数z=x+yiz=x+yiに対し、

∣z∣=zz‾=x2+y2\lvert z\rvert=\sqrt{z\overline{z}}=\sqrt{x^2+y^2}

と定義し、これをzzの絶対値と呼ぶ。

∣z∣=1\lvert z\rvert=1のとき、zˉ=1z\bar{z}=\dfrac{1}{z}である。