複素平面

複素数$z=x+yi$に対して$(x,y)$という点を対応させることで、複素数を$xy$座標平面にプロットできる。 $x$軸と$y$軸の代わりに実軸と虚軸と呼ぶ。

複素数の和は平面ベクトルの和と同じで、平行四辺形により定まる。 また、複素共役は$x$軸に関する鏡映変換である。 複素数$z$の絶対値$\lvert z\rvert$は線分$0z$の長さである。

複素数の和と絶対値に関しては、三角不等式が成り立つ。 距離、位相に関連して、収束などを議論する上で重要な性質である。

$0$でない複素数$z$に対し、その偏角とは、線分$0z$と実軸のなす角のこと。 角の範囲を$0$から$2\pi$とすれば一意に定まるが、一般角としては一意ではないことに注意しよう。

複素平面における直線

$xy$座標平面における直線は$x, y$の一次式で表すことができた。 複素平面において、$z$と$\bar{z}$の一次式でも表すことができる。 例えば$z-\bar{z}=0$が実軸、$z+\bar{z}=0$が虚軸である。 $\alpha z-\bar{\alpha z}=0$が原点と$z=\bar{\alpha}$を通る直線。 $\alpha(z-\beta)-\bar{\alpha}(\bar{z}-\bar{\beta})=0$が$z=\beta$を通る直線である。

複素平面における円

平面における円は、ある点（これを中心という）から等しい距離（これを半径という）にある点の集まり。

$\lvert z\rvert=r$は原点中心で半径$r$の円の方程式である。

また、$\lvert z-\alpha\rvert=r$が$z=\alpha$が中心で半径$r$の円の方程式である。

一次分数変換と円

一次分数変換$w=\dfrac{az+b}{cz+d}$により、円$\lvert w\rvert = k$にうつる$z$の条件を求めよう。

$\lvert\dfrac{az+b}{cz+d}\rvert=k$を整理する。

となる。 $-\dfrac{b}{a}$からの距離と$-\dfrac{d}{c}$からの距離の比が$\lvert a\rvert : k\lvert c\rvert$になる点の集まりが求める集まり。 これはアポロニウスの円である。

一次分数変換により円と円が対応する。