複素平面

複素数z=x+yiz=x+yiに対して(x,y)(x,y)という点を対応させることで、複素数をxyxy座標平面にプロットできる。 xx軸とyy軸の代わりに実軸と虚軸と呼ぶ。

複素数の和は平面ベクトルの和と同じで、平行四辺形により定まる。 また、複素共役は実軸に関する鏡映変換である。

絶対値と偏角

複素数zzの絶対値∣z∣\lvert z\rvertは原点からzzまでの距離である。

偏角

00でない複素数zzに対し、実軸の正の向きから線分0z0zまでの角度をzzの偏角という。 角の範囲を0≤θ<2π0\leq\theta<2\piと半開区間にとれば一意に定まるが、一般角としては一意ではないことに注意しよう。 両端を含めると00と2π2\piが同じ向きを表してしまうので、片方だけを含める。

偏角は一価の関数ではない。 一般角で考えると、あるθ\thetaが偏角ならθ+2πn\theta+2\pi n（nnは整数）もすべて偏角であり、偏角は多価である。

範囲を例えば0≤θ<2π0\leq\theta<2\piに制限する（枝を取る）と、値はただ一つに決まる。 しかしそのように決めた偏角は連続ではなく、正の実軸で値が跳ぶ。 実際、単位円周上で下側から11に近づく点zϵ=cos⁡ϵ−isin⁡ϵz_\epsilon=\cos\epsilon-i\sin\epsilon（ϵ→+0\epsilon\to+0）の偏角は2π−ϵ2\pi-\epsilonで2π2\piに近づくが、11自身の偏角は00である。 どの範囲に制限しても、原点のまわりを一周すると偏角は2π2\piだけ増えるので、どこかで値が跳ぶことは避けられない。

偏角は対数と深く関係しており、この多価性と不連続性は、後で対数関数を考えるときにそのまま現れる。 詳しくは第2章の対数関数と冪乗関数で扱う。

積の行列表示と絶対値・偏角

複素数の四則演算で、α=a+bi\alpha=a+biを掛ける写像が行列(a−bba)\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}で表されることを見た。 この行列に絶対値と偏角がどう現れるかを見ておこう。

まず行列式は

det⁡(a−bba)=a2+b2=∣α∣2\det\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}=a^2+b^2=\lvert\alpha\rvert^2

であり、絶対値の22乗になっている。 行列式は面積の拡大率を表すので、α\alphaを掛けると図形の面積は∣α∣2\lvert\alpha\rvert^2倍になる。

次にα≠0\alpha\neq0とし、r=∣α∣=a2+b2r=\lvert\alpha\rvert=\sqrt{a^2+b^2}をくくり出すと

(a−bba)=r(ar−brbrar)\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} =r\begin{pmatrix}\dfrac{a}{r}&-\dfrac{b}{r}\\\dfrac{b}{r}&\dfrac{a}{r}\end{pmatrix}

となる。 右辺の行列は、22つの列ベクトルがどちらも長さ11で互いに直交し、行列式が(ar)2+(br)2=1\left(\dfrac{a}{r}\right)^2+\left(\dfrac{b}{r}\right)^2=1である。 つまり行列式11の直交行列である。

(ar)2+(br)2=1\left(\dfrac{a}{r}\right)^2+\left(\dfrac{b}{r}\right)^2=1だから、

cos⁡θ=aa2+b2,sin⁡θ=ba2+b2\cos\theta=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad \sin\theta=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}

となる角θ\thetaが取れる。 点α\alphaは原点から距離rr、実軸の正の向きから角θ\thetaの位置にあるので、このθ\thetaがα\alphaの偏角である。 言い換えれば、偏角とは上の式によってcos⁡\cosとsin⁡\sinの値が指定された角であり、2π2\piの整数倍の違いを除いて定まる。

以上をまとめると

(a−bba)=∣α∣(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix} =\lvert\alpha\rvert\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

である。 右の行列は角θ\thetaの回転行列なので、α\alphaを掛けることは、原点を中心とする偏角θ\thetaの回転と∣α∣\lvert\alpha\rvert倍の拡大の合成である。 絶対値は拡大率として、またその22乗が行列式として現れ、偏角は回転角として現れる。