極形式

複素数の積と複素平面の関係については極形式の方が見やすい。 積の絶対値が積、積の偏角が和に対応する。 積と和を結びつけるものとして、指数関数と対数関数があるが、後で見るように偏角は対数関数と関係する。

00でない複素数zzの極形式とは、

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)

のことをいう。 単位円を用いた三角関数の定義を思いだそう。

ここで、z=x+yiz=x+yiに対し、r=∣z∣=x2+y2r=\lvert z\rvert=\sqrt{x^2+y^2}はzzの絶対値で θ\thetaはzzの偏角である。

つまり、θ=arctan⁡xy\theta=\arctan\dfrac{x}{y}であり、rcos⁡θ=x,rsin⁡θ=yr\cos\theta=x, r\sin\theta=yで定まるもの。 θ\thetaは2π2\piの不定性がある。

積と回転。 複素数の積に対し、絶対値は積、偏角は和になる。 z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1),z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1), z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)とすると、

z1z2=r1r2(cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2))z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))

となる。 これは加法定理から証明できる。

α=1+i=2(cos⁡π4+isin⁡π4),β=3+i=2(cos⁡π6+isin⁡π6)\alpha=1+i=\sqrt{2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}), \beta=\sqrt{3}+i=2(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6})に対し、 αβ=22(cos⁡512π+isin⁡512π)\alpha\beta=2\sqrt{2}(\cos\dfrac{5}{12}\pi+i\sin\dfrac{5}{12}\pi)となることを用いて cos⁡512π,sin⁡512π\cos\dfrac{5}{12}\pi, \sin\dfrac{5}{12}\piを求めることができる。

ドモアブルの公式

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)に対し、 zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)となる。

z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z=r(\cos\theta+i\sin\theta)に対し、zzのnn乗根は

r1/n(cos⁡(θn+2πnk)+isin⁡(θn+2πnk)) r^{1/n}(\cos(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi}{n}k)+i\sin(\dfrac{\theta}{n}+\dfrac{2\pi}{n}k))

である。 zzの偏角が一通りではなかったことに注意しよう。

特に11のnn乗根は、整数kkを用いて

cos⁡2πnk+isin⁡2πnk\cos\frac{2\pi}{n}k+i\sin\frac{2\pi}{n}k

と表すことができる。

また、一般のα\alphaのnn乗根は、rrのnn乗根に11のnn乗根をかけることで全て得られる。