一次関数

$f$は$\C$全体で定義された関数$f:\C\to\C$である。

一次関数の幾何的意味

一次関数$f(z)=\alpha z+\beta$は、$\alpha$倍（回転拡大）と$+\beta$（平行移動）の合成である。

$\alpha$の極形式を$\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$とすると、$\alpha$倍は原点を中心とした$\theta$の回転と$r$倍の拡大を同時に行う変換である。 これに平行移動$+\beta$を合わせたものが一次関数$f(z)=\alpha z+\beta$の幾何的意味である。

例えば、$f(z)=iz$は$\pi/2$の回転、$f(z)=2z$は$2$倍の拡大、$f(z)=z+1$は実軸方向の平行移動を表す。

一次関数の重要性

実関数の微積分において、点$a$での微分可能性とは、$a$の近くで関数が一次関数（接線）で近似できることを意味する。 すなわち、$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$である。

これと同様に、複素解析における正則関数も、各点の近くで複素数の一次関数により近似できる関数として理解される。

実関数の場合、$f'(a)$は接線の傾きであるが、複素関数の場合、$f'(a)$は複素数であり、$f'(a)\neq0$なら回転拡大を表す。 正則関数が$f'(a)\neq0$なる点の近くで等角写像（角度を保つ写像）となるのはこのためである。

$f'(a)=0$のときは一次の項が消えるのでこの説明は使えず、実際に角は保たれない。 例えば$f(z)=z^2$は$f'(0)=0$であり、原点で交わる二直線の像のなす角は$2$倍になる。

このように、一次関数は正則関数の局所的な振る舞いを記述する最も基本的な関数である。