複素平面上の図形と一次分数変換

複素平面上の直線と円を、複素数$z$とその共役$\bar z$を使って表そう。 そのうえで、直線と円をまとめて扱う一次分数変換を導入する。

複素平面における直線

$xy$座標平面における直線は$x, y$の一次式で表すことができた。 複素平面においては、$z$と$\bar{z}$の一次式でも表すことができる。 例えば$z-\bar{z}=0$が実軸、$z+\bar{z}=0$が虚軸である。 $\alpha\neq0$とすると、$\alpha z-\overline{\alpha z}=0$が原点と$z=\bar{\alpha}$を通る直線、 $\alpha(z-\beta)-\overline{\alpha(z-\beta)}=0$が$z=\beta$を通る直線である。 $\alpha=0$では式が恒等的に成り立ってしまい、直線を定めない。

複素平面における円

平面における円は、ある点（中心）から等しい距離（半径）にある点の集まりである。

$r>0$とする。 $\lvert z\rvert=r$は原点中心で半径$r$の円の方程式である。 また、$\lvert z-\alpha\rvert=r$は点$\alpha$を中心とする半径$r$の円の方程式である。

一次分数変換と円

一次分数変換は、平行移動$z\mapsto z+b$、拡大回転$z\mapsto az$、反転$z\mapsto\dfrac{1}{z}$の合成で表すことができる。

一次分数変換$w=\dfrac{az+b}{cz+d}$により、円$\lvert w\rvert = k$にうつる$z$の条件を求めよう。

$\left\lvert\dfrac{az+b}{cz+d}\right\rvert=k$を整理する。

となる。 ここでは$a\neq0$かつ$c\neq0$としている。 $-\dfrac{b}{a}$からの距離と$-\dfrac{d}{c}$からの距離の比が$k\lvert c\rvert : \lvert a\rvert$になる点の集まりが求める集合である。

比が$1$でなければ、これはアポロニウスの円である。 比が$1$のとき、すなわち$k\lvert c\rvert=\lvert a\rvert$のときは、二点から等距離にある点の集まりなので垂直二等分線になる。

一般に、一次分数変換は円と直線を円と直線にうつすことが知られている。

$\C$に無限遠点$\infty$を付け加えた集合をリーマン球面という。 $c\neq0$のとき、一次分数変換は$z=-d/c$で定義されないが、$f(-d/c)=\infty, f(\infty)=a/c$と定めることでリーマン球面からリーマン球面への全単射となる。 $c=0$のときは$f(z)=(az+b)/d$という一次関数であり、$f(\infty)=\infty$と定めればよい。

リーマン球面における「円」とは、通常の複素平面における円、または直線に無限遠点$\infty$を付け加えたもののことである。 直線に$\infty$を加えると、リーマン球面の上では閉じた曲線になる。 一次分数変換はリーマン球面の「円」を「円」にうつす。