三角関数を含む定積分

三角関数の有理式の積分を留数定理を用いて計算しよう。 F(X,Y)F(X,Y)をX,YX, Yについての有理式としたとき、

∫02πF(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ\int^{2\pi}_0F(\cos\theta, \sin\theta)d\theta

を考える。

単位円周∣z∣=1\lvert z \rvert=1正の向きCCでの線積分をγ(θ)=eiθ\gamma(\theta)=e^{i\theta}とパラメータづけすることで、 θ\thetaの0≤θ≤2π0\leq\theta\leq2\piでの積分に書き換えることができる。 この書き換えの逆によって、数直線上の積分を単位円周での線積分に書き換えることにより、留数定理を用いて積分が計算できる。

cos⁡θ=z+z−12,sin⁡θ=z−z−12i,dz=ieiθdθ=izdθ\cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2}, \sin\theta=\frac{z-z^{-1}}{2i}, dz=ie^{i\theta}d\theta=izd\theta

となるので、

∫02πF(cos⁡θ,sin⁡θ)dθ=∫CF(z+z−12,z−z−12i)dziz\int^{2\pi}_0F(\cos\theta, \sin\theta)d\theta=\int_CF\left(\frac{z+z^{-1}}{2}, \frac{z-z^{-1}}{2i}\right)\frac{dz}{iz}

である。 この単位円周での線積分を留数定理を用いて計算する。

なぜ単位円周を選ぶのかを確認しておこう。 θ\thetaが00から2π2\piまで動くときz=eiθz=e^{i\theta}はちょうど単位円周を一周するので、実軸上の区間積分がそのまま閉曲線に沿った積分になる。 しかも単位円周上ではzˉ=z−1\bar{z}=z^{-1}なので

cos⁡θ=z+z−12,sin⁡θ=z−z−12i\cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{z-z^{-1}}{2i}

と、三角関数がzzの有理式で書けてしまう。

ここで扱うのは、変換後の有理関数が単位円周上に極を持たない場合である。 この条件のもとで留数定理が直接使える。 なお除去可能な点であれば、値を補ってそのまま扱える。

この条件は落とせない。 例えばF(X,Y)=11−XF(X,Y)=\dfrac{1}{1-X}とすると、元の積分は∫02πdθ1−cos⁡θ\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{1-\cos\theta}で、θ=0\theta=0の近くで発散する。 変換すると1−cos⁡θ=−(z−1)22z1-\cos\theta=-\dfrac{(z-1)^2}{2z}なので、z=1z=1が22位の極として経路上に乗る。 元の積分が発散していることが、経路上の極として現れているのである。

実軸上の極を小半円で迂回する方法は半円周を用いた積分で、主値と広義積分の区別は留数定理の主張と証明で扱う。

他の閉曲線ではこの二つが同時には成り立たない。 cos⁡θ,sin⁡θ\cos\theta, \sin\thetaの有理式という形が単位円周を指定している。

いくつか例題を見てみよう。

3+sin⁡θ3+\sin\theta の例
∫02πdθ3+sin⁡θ\int^{2\pi}_0\frac{d\theta}{3+\sin\theta}

を計算する。

まず上の通り単位円周での線積分に書き換えると、

∫02πdθ3+sin⁡θ=∫C13+(z−z−1)/2idziz=∫C26iz+z2−1dz=2∫Cdz6iz+z2−1\int^{2\pi}_0\frac{d\theta}{3+\sin\theta}=\int_C\frac{1}{3+(z-z^{-1})/2i}\frac{dz}{iz} =\int_C\frac{2}{6iz+z^2-1}dz =2\int_C\frac{dz}{6iz+z^2-1}

となる。

ここで、16iz+z2−1\dfrac{1}{6iz+z^2-1}の正則でない孤立特異点は、z2+6iz−1=0z^2+6iz-1=0の解z=−3i±22iz=-3i\pm2\sqrt{2}iであり、これらはいずれも11位の極である。 このうち∣z∣<1\lvert z\rvert<1なのは、z=−3i+22iz=-3i+2\sqrt{2}iのみである。

z=−3i+22iz=-3i+2\sqrt{2}iでの留数は、

lim⁡z→−3i+22i1(z−(−3i+22i))(z−(−3i−22i))(z−(−3i+22i))=142i\lim_{z\to-3i+2\sqrt{2}i}\frac{1}{(z-(-3i+2\sqrt{2}i))(z-(-3i-2\sqrt{2}i))}(z-(-3i+2\sqrt{2}i))=\frac{1}{4\sqrt{2}i}

である。

よって、留数定理により

2∫Cdz6iz+z2−1=4πi42i=π22\int_C\frac{dz}{6iz+z^2-1} = \frac{4\pi i}{4\sqrt{2}i} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}

となる。

5+3cos⁡θ5+3\cos\theta の例
∫02πdθ5+3cos⁡θ=π2\int^{2\pi}_0\frac{d\theta}{5+3\cos\theta}=\frac{\pi}{2}

を同じ方法で示そう。

単位円周での線積分に書き換えると

∫C15+3(z+z−1)2dziz=∫C2i(3z2+10z+3)dz\int_C\frac{1}{5+\frac{3(z+z^{-1})}{2}}\frac{dz}{iz} =\int_C\frac{2}{i(3z^2+10z+3)}dz

となる。

3z2+10z+3=(3z+1)(z+3)3z^2+10z+3=(3z+1)(z+3)の零点はz=−13,−3z=-\dfrac{1}{3}, -3で、単位円周の内部にあるのはz=−13z=-\dfrac{1}{3}のみである。 そこでの留数は

lim⁡z→−1/32(z+13)i(3z+1)(z+3)=23i(−13+3)=14i\lim_{z\to-1/3}\frac{2\left(z+\frac{1}{3}\right)}{i(3z+1)(z+3)} =\frac{2}{3i\left(-\frac{1}{3}+3\right)}=\frac{1}{4i}

である。

よって留数定理により、積分の値は2πi⋅14i=π22\pi i\cdot\dfrac{1}{4i}=\dfrac{\pi}{2}となる。

一般にa>∣b∣a>\lvert b\rvertのとき

∫02πdθa+bsin⁡θ=∫02πdθa+bcos⁡θ=2πa2−b2\int^{2\pi}_0\frac{d\theta}{a+b\sin\theta}=\int^{2\pi}_0\frac{d\theta}{a+b\cos\theta}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-b^2}}

となることが同じ計算で確かめられる。 上の22つの例はいずれもこの公式に合っている。