一般的なコーシーの積分定理

単連結領域でのコーシーの積分定理

任意の閉曲線が1点に連続変形できるような領域を単連結領域という。

より一般の状況における積分定理を述べるため、いくつか言葉を用意しよう。

空でない連結開集合 $\Omega\subset\mathbb{C}$ を領域という。

ここで $\Omega$ が連結であるとは $\Omega$ の部分集合で開集合かつ閉集合であるものが $\Omega$ 自身と $\emptyset$ のみであることをいう。

閉曲線 $C$ の $z=a$ についての回転数 $n(C,a)$ を

n(C,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{dz}{z-a}

で定義する。

反時計回りの単位円周を $C$ としたとき、 $n(C,0)=1, n(C,2)=0$ である。

閉曲線の形式的な和をサイクルという。

領域 $D$ 内のサイクル $C$ が、 $D$ に関して $0$ にホモローグであるとは、 $D$ の補集合の任意の点 $a$ に対し、 $n(C,a)=0$ であること。

$D=\mathbb{C}$ とし、 $C$ を反時計回りの単位円周とするとこれは $D$ に関して $0$ にホモローグ。一方で $D=\mathbb{C}\setminus\{0\}$ とすると、この $C$ は $D$ に関して $0$ にホモローグではない。

この概念を用いて、コーシーの積分定理をより強い形で述べる。

$f$ が領域 $D\subset \mathbb{C}$ で正則とする。 $D$ 内でホモローグ $0$ な任意のサイクル $C$ に対し、次が成り立つ。

\int_Cf(z)dz=0

ここではこれについて証明はしない。重要な点は、コーシーの積分定理を成立させるためにホモローグ $0$ という位相幾何的な条件を考えることにある。