一般的なコーシーの積分定理

これまで長方形・円板・星形領域と、領域の形を限定してコーシーの積分定理を証明してきた。ここでは領域と閉曲線に対する条件を位相幾何的に定式化し、より一般的な形で定理を述べる。

単連結領域でのコーシーの積分定理

まず直感的に扱いやすい条件から述べる。

単連結領域

領域内の任意の閉曲線が、その領域内に留まったまま $1$ 点に連続変形できるとき、その領域を単連結であるという。

星形領域は単連結である。中心 $z_0$ に向かって線分に沿って縮めていけばよい。一方、円板から中心を除いた領域は単連結ではない。中心を囲む円周は $1$ 点に縮められないからである。

単連結領域上で正則な関数は、任意の閉曲線に沿った積分が $0$ になる。これは星形領域の場合を連続変形で貼り合わせることで得られる。

回転数による定式化

さらに一般の状況を扱うため、いくつか言葉を用意しよう。

回転数

$C$ を閉曲線とし、 $a\notin C$ とする。 $C$ の $a$ についての回転数 $n(C,a)$ を

n(C,a)=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{dz}{z-a}

で定義する。

これは $C$ が $a$ の周りを反時計回りに何周するかを表す整数である。

整数になる理由を述べておく。円周について $\displaystyle\int_C\frac{dz}{z}=2\pi i$ を計算しただけでは、一般の閉曲線について整数であることの証明にはならない。

$C$ のパラメータづけを $\gamma:[0,1]\to\C$ とする。 $\gamma(t)-a$ の偏角を $t$ について連続に選んだものを $\theta(t)$ とすると

\int_C\frac{dz}{z-a}=\Bigl[\log\lvert\gamma(t)-a\rvert+i\theta(t)\Bigr]_0^1

である。 $C$ は閉曲線なので $\gamma(1)=\gamma(0)$ であり、絶対値の項は打ち消し合う。残るのは $i(\theta(1)-\theta(0))$ であるが、 $\gamma(1)-a$ と $\gamma(0)-a$ は同じ複素数だから、偏角の差は $2\pi$ の整数倍である。よって $n(C,a)$ は整数になる。

サイクルについては、閉曲線の整数係数の和 $C=\sum_k m_kC_k$ に対し

n(C,a)=\sum_k m_k\,n(C_k,a)

と定める。整数の和なのでこれも整数である。

回転数の例

$C$ を反時計回りの単位円周とすると

n(C,0)=1,\quad n(C,2)=0

である。

$n(C,0)=1$ は上の計算そのものである。 $n(C,2)=0$ は、 $\dfrac{1}{z-2}$ が単位円周とその内部を含む円板 $\lvert z\rvert<2$ で正則なので、円板に対するコーシーの積分定理から従う。

閉曲線の形式的な整数係数の和をサイクルという。サイクル $C=\displaystyle\sum_km_kC_k$ （ $m_k$ は整数）に沿った積分は

\int_Cf(z)dz=\sum_km_k\int_{C_k}f(z)dz

で定義する。係数 $-1$ は向きを逆にすることに対応する。回転数も同様に $n(C,a)=\displaystyle\sum_km_kn(C_k,a)$ とする。

ここで注意したいのは、サイクルは閉曲線たちの形式和であって、それ自体が $1$ 本のつながった閉曲線とは限らないことである。離れた位置にある複数の円周の和を $1$ 本の曲線に「連続変形する」という言い方はできない。複数の曲線をまとめて扱いたいときは、この形式和とホモローグの言葉を使う。

0

にホモローグ

領域 $D$ 内のサイクル $C$ が $D$ に関して $0$ にホモローグであるとは、 $D$ の補集合の任意の点 $a$ に対し $n(C,a)=0$ であることをいう。

つまり、 $C$ が $D$ の外側の点を一つも囲んでいないという条件である。

ホモローグ

0

の例

$C$ を反時計回りの単位円周とする。

$D=\C$ のとき、補集合は空なので $C$ は $D$ に関して $0$ にホモローグである。

一方 $D=\C\setminus\{0\}$ のときは、 $0\notin D$ かつ $n(C,0)=1\neq0$ なので、 $C$ は $D$ に関して $0$ にホモローグではない。

一般的なコーシーの積分定理

この概念を用いると、コーシーの積分定理は次の形に述べられる。

一般的なコーシーの積分定理

$f$ が領域 $D\subset\C$ で正則とする。 $D$ に関して $0$ にホモローグな任意のサイクル $C$ に対し

\int_Cf(z)dz=0

が成り立つ。

ここでは証明はしない。

重要なのは、コーシーの積分定理を成立させるために「 $0$ にホモローグ」という位相幾何的な条件が必要になるという点である。 $D$ が単連結ならば $D$ 内のすべてのサイクルが $0$ にホモローグなので、単連結領域の場合はこの定理の特別な場合になっている。

逆にこの条件が外れると定理は成り立たない。 $D=\C\setminus\{0\}$ で $f(z)=\dfrac{1}{z}$ 、 $C$ を単位円周とすると、 $C$ は $0$ にホモローグでなく、実際

\int_C\frac{dz}{z}=2\pi i\neq0

である。

演習

八の字曲線の回転数

相異なる $2$ 点 $a, b$ に対し、 $a$ の周りを反時計回りに $1$ 周したあと $b$ の周りを時計回りに $1$ 周する八の字型の閉曲線を $C$ とする。 $n(C,a)$ と $n(C,b)$ を求めよ。

解答

$C$ は $a$ の周りの反時計回りの小円 $C_a$ と、 $b$ の周りの時計回りの小円 $C_b$ をつないだものと連続変形で同一視できる。回転数は積分で定義されており、曲線の分割について加法的だから

n(C,a)=n(C_a,a)+n(C_b,a),\qquad n(C,b)=n(C_a,b)+n(C_b,b)

である。

$C_a$ は $a$ を反時計回りに $1$ 周するので $n(C_a,a)=1$ 、 $b$ は $C_a$ の外部なので $n(C_a,b)=0$ である。 $C_b$ は時計回りなので $n(C_b,b)=-1$ 、 $a$ は外部なので $n(C_b,a)=0$ である。

よって $n(C,a)=1$ 、 $n(C,b)=-1$ である。

回転数が点ごとに違う値をとること、負にもなることが要点である。 $C$ は $\C\setminus\{a,b\}$ において $0$ にホモローグではない。