孤立特異点の分類

孤立特異点を除去可能特異点、極、真性特異点の三種類に分類する。これはローラン級数展開の主要部の様子による分類である。また同値な条件として、特異点に近づくときの関数の振る舞いによる特徴づけもある。

除去可能特異点は本質的には特異点ではないような孤立特異点で、その点まで正則に関数を延長できる。極はその特異点に近づくときに関数が無限大に発散するような孤立特異点で、特異性を持つが比較的扱いやすい。真性特異点はこれらに比べて扱いにくい特異点である。

除去可能特異点

$z=a$ が $f$ の孤立特異点であるとする。 $z=a$ を含めた領域で正則な関数 $g$ が存在して、 $z\neq a$ では $f(z)=g(z)$ であるとき、 $z=a$ を $f$ の除去可能特異点という。

除去可能特異点は見かけ上特異点のようになっているが、関数の値を適切に定め直すことで特異点を解消できるものである。

除去可能特異点のローラン級数による特徴づけ

$z=a$ が $f$ の除去可能特異点であることは、 $z=a$ の周りでのローラン級数展開の主要部が $0$ であることと同値である。

除去可能特異点の漸近挙動による特徴づけ（リーマンの定理）

$z=a$ が $f$ の除去可能特異点であることは、 $a$ の近くで $f$ が有界であること、すなわちある $\epsilon>0$ と $M>0$ が存在して $0<\lvert z-a\rvert<\epsilon$ ならば $\lvert f(z)\rvert\leq M$ となることと同値である。

証明

有界ならば主要部が $0$ であることを見れば十分である。ローラン係数の積分表示から、 $0<r<\epsilon$ に対し

\lvert a_{-m}\rvert=\left\lvert\frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert\zeta-a\rvert=r}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{-m+1}}d\zeta\right\rvert \leq\frac{1}{2\pi}\cdot Mr^{m-1}\cdot 2\pi r=Mr^{m}

である。 $m\geq1$ のとき $r\to0$ で右辺は $0$ に収束し、 $a_{-m}$ は $r$ によらないから $a_{-m}=0$ である。

除去可能特異点の例

$f(z)=\dfrac{e^z-1}{z}$ および $f(z)=\dfrac{\sin z}{z}$ はいずれも $z=0$ を除去可能特異点に持つ。いずれの場合も $f(0)=1$ と定めれば $z=0$ を含めて正則となる。

極

$z=a$ が $f$ の孤立特異点であるとする。 $\lim_{z\to a}f(z)=\infty$ であるとき、 $z=a$ を $f$ の極という。

極のローラン級数による特徴づけ

$z=a$ が $f$ の極であることは、 $z=a$ の周りでのローラン級数展開の主要部が $0$ でない有限和であることと同値である。

極の漸近挙動による特徴づけ

$z=a$ が $f$ の極であることは、 $\lim_{z\to a}\lvert f(z)\rvert=\infty$ であることと同値である。

これは $\dfrac{1}{f}$ を考えることで除去可能特異点の場合に帰着できる。 $\lvert f\rvert\to\infty$ なら $a$ の近くで $\dfrac{1}{f}$ は有界なので、上のリーマンの定理から $z=a$ は $\dfrac{1}{f}$ の除去可能特異点であり、延長した関数は $a$ で $0$ になる。その零点の位数が $f$ の極の位数である。

極の例

$f(z)=\dfrac{1}{z(z-1)}$ は $z=0$ および $z=1$ にそれぞれ $1$ 位の極を持つ。 $z=0$ の周りでのローラン級数展開の主要部は $-z^{-1}$ であり、留数は $-1$ である。

真性特異点

$z=a$ が $f$ の孤立特異点であり、除去可能特異点でも極でもないとき、 $z=a$ を $f$ の真性特異点という。

真性特異点のローラン級数による特徴づけ

$z=a$ が $f$ の真性特異点であることは、 $z=a$ の周りでのローラン級数展開の主要部が無限和であることと同値である。

例えば $e^{1/z}$ や $\sin\dfrac{1}{z}$ は $z=0$ を真性特異点に持つ。

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理

$z=a$ が $f$ の真性特異点のとき、任意の複素数 $w$ に対し、 $a$ に収束する点列 $z_n$ で $f(z_n)\to w$ となるものがとれる。すなわち $f$ の $a$ の近くでの像は $\C$ で稠密である。

この定理の証明はここでは省略する。上の二つの特徴づけと違って、短い計算では済まないためである。

なお主張は「任意の値にいくらでも近づく」であって「任意の値を実際にとる」ではないことに注意しよう。後者まで言えるのがピカールの定理で、高々一つの例外を除いて実際に全ての値をとる。近づけ方も連続的な曲線である必要はなく、点列で十分である。

真性特異点の例

$f(z)=e^{1/z}$ は $z=0$ を真性特異点に持つ。 $z=1/(a+bi)$ とすると $f(z)=e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b)$ である。 $a=0$ と固定して $b\to\infty$ とすれば $z=1/(bi)\to 0$ であり、 $f(z)=\cos b+i\sin b$ は単位円周上を回り続ける。特に $b_n=\theta+2\pi n$ とすれば $n\to\infty$ で $z\to 0$ であり、 $f(z)=\cos\theta+i\sin\theta$ となるから、任意の $e^{i\theta}$ に収束する列が得られる。