偏角の原理

有理型関数 $f(z)$ を $z=a$ の周りでローラン級数展開すると、 $\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ の $z=a$ での留数が $f$ の零点や極の位数で表せることが分かる。

実際 $f$ が $z=a$ で $h$ 位の零点を持つとき、 $g(a)\neq0$ なる正則関数 $g$ を用いて $f(z)=(z-a)^hg(z)$ と書けるので

\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{h}{z-a}+\frac{g'(z)}{g(z)}

となり、留数は $h$ である。 $h$ 位の極の場合は $f(z)=(z-a)^{-h}g(z)$ として同様に留数は $-h$ となる。

これを留数定理と組み合わせると次が得られる。

偏角の原理

$f(z)$ は $\Omega$ で有理型で、その零点を $a_1,\ldots,a_n$ 、極を $b_1,\ldots,b_m$ とする。 $\Omega$ に関して $0$ にホモローグで零点も極も通らない任意のサイクル $C$ に対し

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\sum_{i=1}^nn(C,a_i)-\sum_{j=1}^mn(C,b_j)

となる。

ここで零点と極は位数の分だけ重複して数えるものとする。

偏角の増加量としての解釈

$f$ による $C$ の像を $\Gamma$ とし、 $w=f(z)$ とすると

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_\Gamma\frac{dw}{w}=n(\Gamma,0)

となる。つまりこの積分は、 $z$ が $C$ を一周する間に $f(z)$ が原点の周りを何周するかを数えている。 $\dfrac{dw}{w}=d(\log w)=d(\log\lvert w\rvert)+i\,d(\arg w)$ であり、一周すると $\log\lvert w\rvert$ は元に戻るので、残るのは偏角の増加量である。これが「偏角の原理」という名前の由来である。

一般化

さらに次のように一般化できる。 $g(z)$ を $\Omega$ で正則とすると、 $g(z)\dfrac{f'(z)}{f(z)}$ は $f$ の $h$ 位の零点 $z=a$ では留数 $hg(a)$ をもち、 $f$ の $h$ 位の極では留数 $-hg(a)$ を持つ。よって

\frac{1}{2\pi i}\int_Cg(z)\frac{f'(z)}{f(z)}dz=\sum_{i=1}^nn(C,a_i)g(a_i)-\sum_{j=1}^mn(C,b_j)g(b_j)

が成り立つ。

演習

偏角の原理を確かめる

$f(z)=\dfrac{(z-1)^2}{z+2}$ について、 $C$ を $\lvert z\rvert=3$ の反時計回りの円周として

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz

を求めよ。

解答

$f$ の零点は $z=1$ （ $2$ 位）、極は $z=-2$ （ $1$ 位）である。いずれも $\lvert z\rvert=3$ の内部にあり、 $C$ は各点を反時計回りに $1$ 周するので回転数は $1$ である。

偏角の原理により

\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'(z)}{f(z)}dz =(\text{零点の個数})-(\text{極の個数})=2-1=1

である。ここで零点と極は位数の分だけ重複して数える。

この値は $f$ による $C$ の像 $\Gamma$ の原点に関する回転数でもある。つまり $z$ が $\lvert z\rvert=3$ を一周する間に、 $f(z)$ は原点の周りを $1$ 周する。