ガンマ関数

ガンマ関数は、解析接続の典型的かつ重要な例である。 最初は右半平面でしか定義できない積分が、複素平面全体の有理型関数に延長できる。

ガンマ関数

実部がRe⁡(s)>0\Re(s)>0なる複素数ssに対し

Γ(s)=∫0∞e−tts−1dt\Gamma(s)=\int^\infty_0e^{-t}t^{s-1}dt

と定める。 この積分は収束し、Re⁡(s)>0\Re(s)>0で正則な関数を定める。

ここでts−1=exp⁡((s−1)log⁡t)t^{s-1}=\exp((s-1)\log t)であり、t>0t>0なのでlog⁡t\log tは実数の対数である。 多価性は生じない。

t→0t\to0の側では∣ts−1∣=tRe⁡(s)−1\lvert t^{s-1}\rvert=t^{\Re(s)-1}の可積分性からRe⁡(s)>0\Re(s)>0が必要になり、 t→∞t\to\inftyの側ではe−te^{-t}が効いて収束する。

積分が各ssで収束するだけでは、ssの関数として正則であることは直ちには言えない。 正則性は積分記号の下での微分によって確かめられる。 右半平面の任意のコンパクト集合KKをとり、δ=min⁡s∈KRe⁡(s)>0\delta=\displaystyle\min_{s\in K}\Re(s)>0、M=max⁡s∈KRe⁡(s)M=\displaystyle\max_{s\in K}\Re(s)とおく。 このとき被積分関数とそのssについての導関数e−tts−1log⁡te^{-t}t^{s-1}\log tは、s∈Ks\in Kによらない可積分関数

gK(t)={e−ttδ−1(1+∣log⁡t∣),0<t≤1e−ttM−1(1+log⁡t),t≥1g_K(t)= \begin{cases} e^{-t}t^{\delta-1}(1+\lvert\log t\rvert),&0<t\leq1\\ e^{-t}t^{M-1}(1+\log t),&t\geq1 \end{cases}

で一様に抑えられる。 これにより微分と積分の順序が交換でき、Γ\GammaはRe⁡(s)>0\Re(s)>0で正則である。

優関数gKg_KがKKに依存してよい点が要点である。 右半平面全体で共通に使える優関数は存在しない。 実際0<t<10<t<1でs→0s\to0とするとe−tts−1→e−t/te^{-t}t^{s-1}\to e^{-t}/tであり、これをすべて支配する関数は原点の近くで可積分にならない。 コンパクト集合ごとに正則性が言えれば、正則性は局所的な性質なので右半平面全体での正則性が従う。 ここではこの事実を認めて先に進む。

関数等式と解析接続

部分積分により、Re⁡(s)>0\Re(s)>0なる複素数ssに対して

Γ(s+1)=sΓ(s) \Gamma(s+1)=s\Gamma(s)

が成り立つ。

そこで、実部が−1-1より大きな複素数ssに対し

G(s)=Γ(s+1)s G(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}

と定義しよう。 Re⁡(s)>−1\Re(s)>-1のときRe⁡(s+1)>0\Re(s+1)>0だから右辺の分子は定義されている。 よってGGはRe⁡(s)>−1\Re(s)>-1で有理型であり、s=0s=0で11位の極を持ちそれ以外では正則である。 その留数はΓ(1)=1\Gamma(1)=1である。

このG(s)G(s)について、Re⁡(s)>0\Re(s)>0においては

G(s)=Γ(s+1)s=Γ(s) G(s)=\frac{\Gamma(s+1)}{s}=\Gamma(s)

が成り立つ。 つまり、G(s)G(s)はΓ(s)\Gamma(s)をRe⁡(s)>−1\Re(s)>-1に解析接続した関数となっている。

この操作を繰り返してΓ(s+n)s(s+1)⋯(s+n−1)\dfrac{\Gamma(s+n)}{s(s+1)\cdots(s+n-1)}を考えれば、Re⁡(s)>−n\Re(s)>-nまで延長できる。 nnを大きくしていくことで、Γ(s)\Gamma(s)は複素平面全体の有理型関数に解析接続でき、 s=0,−1,−2,…s=0,-1,-2,\ldotsに11位の極を持つ以外では正則である。 また、極s=−ns=-nにおける留数は(−1)nn!\dfrac{(-1)^n}{n!}であることがわかる。

解析接続の一意性から、この延長は一通りしかない。 つまり、Re⁡(s)>0\Re(s)>0で最初の積分表示と一致する有理型関数はΓ\Gammaただ一つである。

相補公式

このガンマ関数は、留数定理を用いた多価関数の積分計算で示すように

Γ(s)Γ(1−s)=πsin⁡πs \Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}

をみたす。

この等式はまず0<Re⁡(s)<10<\Re(s)<1の範囲で証明されるが、両辺とも複素平面全体の有理型関数なので、一致の定理により全体で成り立つ。 解析接続と一致の定理が実際に働く場面である。

演習

階乗との関係と Γ(1/2)\Gamma(1/2)
  1. 正の整数nnに対しΓ(n+1)=n!\Gamma(n+1)=n!を示せ。
  2. Γ(12)=π\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}を示せ。
解答

1. まず

Γ(1)=∫0∞e−tdt=1\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=1

である。 関数等式Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)を繰り返し使うと

Γ(n+1)=nΓ(n)=n(n−1)Γ(n−1)=⋯=n! Γ(1)=n!\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=n!\,\Gamma(1)=n!

となる。

つまりΓ\Gammaは階乗を複素数に拡張したものである。 これがガンマ関数を考える動機の一つである。

2. 定義にs=12s=\dfrac{1}{2}を代入すると

Γ(12)=∫0∞e−tt−1/2dt\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^\infty e^{-t}t^{-1/2}dt

である。 t=u2t=u^2（u>0u>0）と置換するとdt=2u dudt=2u\,du、t−1/2=u−1t^{-1/2}=u^{-1}であるから

Γ(12)=∫0∞e−u2u−1⋅2u du=2∫0∞e−u2du=∫−∞∞e−u2du=π\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\int_0^\infty e^{-u^2}u^{-1}\cdot2u\,du=2\int_0^\infty e^{-u^2}du=\int_{-\infty}^\infty e^{-u^2}du=\sqrt{\pi}

となる。

相補公式Γ(s)Γ(1−s)=πsin⁡πs\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\dfrac{\pi}{\sin\pi s}にs=12s=\dfrac{1}{2}を入れても Γ(12)2=πsin⁡(π/2)=π\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{\pi}{\sin(\pi/2)}=\piとなり、同じ結果が得られる。