広義一様収束

冪級数は収束円板の内部で各点収束するだけでなく、広義一様収束することが証明できる。 広義一様収束は極限の順序交換を正当化する十分条件であり、これを用いて次の記事で冪級数の項別微分と項別積分を正当化する。

一様収束と広義一様収束

集合AA上の関数列fnf_nがffに一様収束するとは、任意のϵ>0\epsilon>0に対しある自然数NNが存在して、n≥Nn\geq NならばAAのすべてのzzで

∣fn(z)−f(z)∣<ϵ\lvert f_n(z)-f(z)\rvert<\epsilon

が成り立つことをいう。 NNがzzによらずに取れることが要点である。

領域DD上の関数列が広義一様収束するとは、DDに含まれる任意のコンパクト集合の上で一様収束することをいう。

C\Cの部分集合がコンパクトであるとは、有界かつ閉であることをいう。 以下で使うのは、コンパクト集合の上では連続関数が有界になる、という性質だけである。 収束円板∣z∣<R\lvert z\rvert<Rに含まれるコンパクト集合は、K<RK<Rなる閉円板∣z∣≤K\lvert z\rvert\leq Kに収まる。

冪級数の広義一様収束

冪級数∑n=0∞anzn\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nz^nの収束半径をRRとする。 このとき0<K<R0<K<Rなる任意のKKに対し、閉円板∣z∣≤K\lvert z\rvert\leq Kの上で一様収束する。 すなわち収束円板の内部で広義一様収束する。

収束円板の内部全体で一様収束するとは限らないことに注意しよう。 円周に近づくほど収束が遅くなりうるので、少し内側の閉円板に制限する必要がある。

証明

関数ffのAA上の一様ノルムとはsup⁡z∈A∣f(z)∣\displaystyle\sup_{z\in A}\lvert f(z)\rvertのことである。 一様収束は、差の一様ノルムが00に収束することと同じである。 そして一様ノルムについてのコーシー列であることから収束が導ける。

冪級数の部分和をsn(z)=∑k=0nakzks_n(z)=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kz^kとする。 ∣z∣≤K\lvert z\rvert\leq K上での上限をとると、m≥nm\geq nに対し

sup⁡∣z∣≤K∣sm(z)−sn(z)∣=sup⁡∣z∣≤K∣∑k=n+1makzk∣≤∑k=n+1m∣ak∣Kk\sup_{\lvert z\rvert\leq K}\lvert s_m(z)-s_n(z)\rvert =\sup_{\lvert z\rvert\leq K}\left\lvert\sum_{k=n+1}^{m}a_kz^k\right\rvert \leq\sum_{k=n+1}^{m}\lvert a_k\rvert K^k

が成り立つ。 各項が∣z∣\lvert z\rvertの増加関数なので、上限は∣z∣=K\lvert z\rvert=Kでとれることを使った。

K<RK<Rだから∑k∣ak∣Kk\displaystyle\sum_k\lvert a_k\rvert K^kは収束する。 したがって右辺はn,m→∞n,m\to\inftyで00に収束し、sns_nは一様ノルムについてのコーシー列である。

各点収束先をs(z)s(z)とする。 任意のϵ>0\epsilon>0に対しあるNNが存在して、m≥n>Nm\geq n>Nと∣z∣≤K\lvert z\rvert\leq Kなる任意のzzに対し

∣sm(z)−sn(z)∣<ϵ\lvert s_m(z)-s_n(z)\rvert<\epsilon

となる。 この式でm→∞m\to\inftyの極限をとると

∣s(z)−sn(z)∣≤ϵ\lvert s(z)-s_n(z)\rvert\leq\epsilon

となり、NNがzzによらないことから一様収束が従う。

ワイエルシュトラスのMM判定法

上の議論は次のように一般化できる。

ワイエルシュトラスのMM判定法

集合AA上の関数列fnf_nに対し、正の実数列MnM_nであって

sup⁡z∈A∣fn(z)∣≤Mn,∑nMn<∞\sup_{z\in A}\lvert f_n(z)\rvert\leq M_n,\qquad \sum_{n}M_n<\infty

を満たすものが存在するとする。 このとき∑nfn\displaystyle\sum_nf_nはAA上で一様収束する。

部分和がコーシー列であることがMnM_nを用いた評価から従う、というのが証明である。

冪級数の場合はA={∣z∣≤K}A=\{\lvert z\rvert\leq K\}、fn(z)=anznf_n(z)=a_nz^n、Mn=∣an∣KnM_n=\lvert a_n\rvert K^nとすれば、上の定理がそのまま適用できる。